자연계열 3번

부산대 2020학년도 모의 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/pusan/2020mo/jayeon_3

[문항 3] 다음 제시문을 이용하여 아래 논제의 풀이 과정과 답을 논리적으로 서술하시오.

(가) 서로 다른 $\displaystyle n$ 개에서 순서를 생각하지 않고 $\displaystyle r$ ( $\displaystyle r \le n$ )개를 택할 때, 이것을 $\displaystyle n$ 개에서 $\displaystyle r$ 개를 택하는 조합이라고 하며, 이 조합의 수를 기호로 $\displaystyle {}_{n}\mathrm{C}_{r}$ 와 같이 나타낸다. 이 때, 조합의 수는 $\displaystyle {}_{n}\mathrm{C}_{r} = \frac{{n !}}{r ! \times ( n - r ) !}$

(나) 자연수 $\displaystyle n$ 을 자신보다 크지 않은 자연수 $\displaystyle n_{1}$ , $\displaystyle n_{2}$ , $\displaystyle n_{3}$ , $\displaystyle \cdots$ , $\displaystyle n_{k}$ 의 합으로 $\displaystyle n = n_{1} + n_{2} + n_{3} + \cdots + n_{k}$ ( $\displaystyle n_{1} \ge n_{2} \ge n_{3} \ge \cdots \ge n_{k}$ )와 같이 나타내는 것을 자연수의 분할이라고 한다. (단, $\displaystyle 1 \le k \le n$ )

(다) 원소가 유한개인 집합을 공집합이 아닌 몇 개의 서로소인 부분집합의 합집합으로 나타내는 것을 집합의 분할이라고 한다. 예를 들면, 원소가 $\displaystyle 4$ 개인 집합을 공집합이 아닌 $\displaystyle 2$ 개의 서로소인 부분집합으로 분할하는 방법의 수는 $\displaystyle 7$ 이다.

$\displaystyle 1$ 부터 $\displaystyle n$ 까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 $\displaystyle n$ 장의 카드가 주머니에 들어 있다. 한 번에 $\displaystyle 1$ 장에서 $\displaystyle n$ 장까지 카드를 반복해서 꺼내려고 한다. 주머니에 남은 카드가 없도록 $\displaystyle n$ 장의 카드를 모두 꺼내는 방법의 수를 생각해보자. 예를 들면, $\displaystyle n = 3$ 일 때 꺼내는 방법의 수는 $\displaystyle 13$ 이다.

[3-1] $\displaystyle n = 4$ 일 때 주머니 속의 카드를 모두 꺼내는 방법의 수를 구하시오. (10점)

[3-2] 다음과 같은 시행을 통해 주머니 속에 있는 모든 카드를 꺼낸다.

$\displaystyle i$ 번째 꺼낸 카드의 개수가 $\displaystyle m$ 이면 $\displaystyle ( i + 1 )$ 번째 꺼내는 카드의 개수는 $\displaystyle \frac{m}{2}$ 이하이다.

이와 같은 과정을 통해 $\displaystyle 10$ 장의 카드를 모두 꺼내는 방법의 수를 구하시오. (20점)

해설강의 준비중

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[3-1]

+3점 ·

\displaystyle n=4

일 때, 자연수 4를 분할하는 방법의 수를 구할 수 있다.

$\displaystyle n = 4$ 일 때, 자연수 $\displaystyle 4$ 를 분할하는 방법이 $\displaystyle 4 = 3 + 1 = 2 + 2 = 2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1$

+7점 ·

\displaystyle n=4

일 때, 카드를 꺼내는 방법의 수를 구할 수 있다.

이고 카드 $\displaystyle 1$ , $\displaystyle 2$ , $\displaystyle 3$ , $\displaystyle 4$ 를 $\displaystyle 1$ 개, $\displaystyle 2$ 개, $\displaystyle 3$ 개, $\displaystyle 4$ 개의 집합으로 분할할 수 카드를 꺼내는 방법을 구하면 $\displaystyle 1\times1+\left({}_{4}\mathrm{C}_{3}\times{}_{1}\mathrm{C}_{1}+{}_{4}\mathrm{C}_{2}\times{}_{2}\mathrm{C}_{2}\times\frac1{2!}\right)\times2!+\left({}_{4}\mathrm{C}_{2}\times{}_{2}\mathrm{C}_{1}\times{}_{1}\mathrm{C}_{1}\times\frac1{2!}\right)\times3!+4!=75$ (가지)이다.

[3-2]

$\displaystyle X$ 를 주머니 속에 있는 카드를 꺼낸 횟수라 하면

+3점 ·

\displaystyle X=1

일 때, 카드를 꺼내는 방법의 수를 구할 수 있다.

(ⅰ) $\displaystyle X = 1$ 일 때, $\displaystyle 10$ 장의 카드를 한 번에 모두 꺼내야 하므로 구하는 경우의 수는 $\displaystyle 1$ (가지)이다.

+7점 ·

\displaystyle X=2

일 때, 카드를 꺼내는 방법의 수를 구할 수 있다.

(ⅱ) $\displaystyle X = 2$ 일 때, $\displaystyle 10$ 을 $\displaystyle 2$ 개의 자연수로 분할한 것 중 만족하는 경우는 $\displaystyle 10 = 7 + 3 = 8 + 2 = 9 + 1$ 이다. 따라서 구하는 경우의 수는 $\displaystyle {}_{10}\mathrm{C}_{7}\times{}_{3}\mathrm{C}_{3}+{}_{10}\mathrm{C}_{8}\times{}_{2}\mathrm{C}_{2}+{}_{10}\mathrm{C}_{9}\times{}_{1}\mathrm{C}_{1}=120+45+10=175$ (가지)이다.

+7점 ·

\displaystyle X=3

일 때, 카드를 꺼내는 방법의 수를 구할 수 있다.

(ⅲ) $\displaystyle X = 3$ 일 때, $\displaystyle 10$ 을 $\displaystyle 3$ 개의 자연수로 분할한 것 중 만족하는 경우는 $\displaystyle 10 = 7 + 2 + 1 = 6 + 3 + 1$ 이다. 따라서 구하는 경우의 수는 $\displaystyle {}_{10}\mathrm{C}_{7}\times{}_{3}\mathrm{C}_{2}\times{}_{1}\mathrm{C}_{1}+{}_{10}\mathrm{C}_{6}\times{}_{4}\mathrm{C}_{3}\times{}_{1}\mathrm{C}_{1}=360+840=1200$ (가지)이다.

+3점 ·

\displaystyle X\ge4

일 때, 카드를 꺼내는 방법의 수를 구할 수 있다.

(ⅳ) $\displaystyle X \ge 4$ 이면 만족하는 자연수 분할이 존재하지 않는다.그러므로 주어진 조건을 만족하는 개수는 $\displaystyle 1 + 175 + 1200 = 1376$ (가지)이다.

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