의학계 2번

[2-1]$\displaystyle u(t)=C+\int_{0}^{t}f(s)g(s)ds$의 양변을 $\displaystyle t$에 대해 미분하면 $\displaystyle u^{\prime}(t)=f(t)g(t)$

$\displaystyle u^{\prime}(t)=f(t)g(t)$에 $\displaystyle f(x)\le C+\int_{0}^{x}f(s)g(s)ds$를 적용하면 $\displaystyle u^{\prime}(t)=f(t)g(t)\le u(t)g(t)$

[2-2]$\displaystyle f(x)\le u(x)$이므로 $\displaystyle u(x)\le Ce^{\int_{0}^{x}g(s)ds}$ 임을 보이면 된다. 여기서 $\displaystyle h(x)=\frac{u(x)}{e^{\int_{0}^{x}g(s)ds}}$ 라 하자.

양변을 미분하면 $\displaystyle h^{\prime}(x)=\frac{u^{\prime}(x)e^{\int_{0}^{x}g(s)ds}-u(x)e^{\int_{0}^{x}g(s)ds}g(x)}{\left(e^{\int_{0}^{x}g(s)ds}\right)^{2}}$ 이다.

[2-1]에 의해 $\displaystyle e^{\int_{0}^{x}g(s)ds}\{u^{\prime}(x)-u(x)g(x)\}\le 0$ 이다.

또한, $\displaystyle h(0)=u(0)=C$이므로 $\displaystyle h(x)\le C$ 즉, $\displaystyle \frac{u(x)}{e^{\int_{0}^{x}g(s)ds}}\le C$이므로 $\displaystyle u(x)\le Ce^{\int_{0}^{x}g(s)ds}$이고,$\displaystyle f(x)\le Ce^{\int_{0}^{x}g(s)ds}$가 성립한다.