수리논술, 이게 다다.

의학계 2번

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부산대 2020학년도 모의 의학계 2번 · 해설강의 있음 · mathesis.kr/archive/pusan/2020mo/uihak_2

배점30점
예상 소요 시간미공개
다음 문제

문제

【문항 2】 다음 제시문을 이용하여 아래 논제의 풀이 과정과 답을 논리적으로 서술하시오.

(가) 두 함수 y=f(u)\displaystyle y=f(u), u=g(x)\displaystyle u=g(x)가 미분가능할 때, 합성함수 y=f(g(x))\displaystyle y=f(g(x))의 도함수는{f(g(x))}′=f′(g(x))g′(x)\displaystyle \{f(g(x))\}^{\prime}=f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)

(나) 두 함수 f(x)\displaystyle f(x), g(x) (g(x)≠0)\displaystyle g(x)\ (g(x)\ne 0)가 미분가능할 때,{f(x)g(x)}′=f′(x)g(x)−f(x)g′(x){g(x)}2\displaystyle \left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}^{\prime}=\frac{f^{\prime}(x)g(x)-f(x)g^{\prime}(x)}{\{g(x)\}^{2}}

(다) 함수 f(t)\displaystyle f(t)가 구간 [a, b]\displaystyle [a,\ b]에서 연속일 때, ddx∫axf(t)dt=f(x)\displaystyle \frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)dt=f(x) (단, a<x<b\displaystyle a<x<b)

구간 [0, ∞)\displaystyle [0,\ \infty)에서 정의된 연속함수 f(x)\displaystyle f(x), g(x)\displaystyle g(x)가 x≥0\displaystyle x\ge 0인 모든 실수 x\displaystyle x에 대하여g(x)≥0, f(x)≤C+∫0xf(s)g(s)ds\displaystyle g(x)\ge 0,\ f(x)\le C+\int_{0}^{x}f(s)g(s)ds (단, C\displaystyle C는 상수)를 만족할 때, 다음 물음에 답하시오.

[2-1] u(t)=C+∫0tf(s)g(s)ds\displaystyle u(t)=C+\int_{0}^{t}f(s)g(s)ds 일 때, u′(t)≤u(t)g(t)\displaystyle u^{\prime}(t)\le u(t)g(t)가 성립함을 보이시오. (10점)

[2-2] f(x)≤Ce∫0xg(s)ds\displaystyle f(x)\le Ce^{\int_{0}^{x}g(s)ds}가 성립함을 보이시오. (20점)

논술 그론월 부등식

부산대 2020학년도 모의 의학계 2번 · 해설강의 있음 · mathesis.kr/archive/pusan/2020mo/uihak_2

+5점 · 정적분과 미분의 관계를 적용시킬 수 있다.

[2-1]u(t)=C+∫0tf(s)g(s)ds\displaystyle u(t)=C+\int_{0}^{t}f(s)g(s)ds의 양변을 t\displaystyle t에 대해 미분하면 u′(t)=f(t)g(t)\displaystyle u^{\prime}(t)=f(t)g(t)

+5점 · 문제의 조건 f(x)≤u(x)\displaystyle f(x)\le u(x)를 이용하여 부등식을 증명할 수 있다.

u′(t)=f(t)g(t)\displaystyle u^{\prime}(t)=f(t)g(t)에 f(x)≤C+∫0xf(s)g(s)ds\displaystyle f(x)\le C+\int_{0}^{x}f(s)g(s)ds를 적용하면 u′(t)=f(t)g(t)≤u(t)g(t)\displaystyle u^{\prime}(t)=f(t)g(t)\le u(t)g(t)

+5점 · 주어진 부등식을 u(x)≤Ce∫0xg(s)ds\displaystyle u(x)\le Ce^{\int_{0}^{x}g(s)ds} 로 바꾼 후, h(x)=u(x)e∫0xg(s)ds\displaystyle h(x)=\frac{u(x)}{e^{\int_{0}^{x}g(s)ds}} 로 둘 수 있다.

[2-2]f(x)≤u(x)\displaystyle f(x)\le u(x)이므로 u(x)≤Ce∫0xg(s)ds\displaystyle u(x)\le Ce^{\int_{0}^{x}g(s)ds} 임을 보이면 된다. 여기서 h(x)=u(x)e∫0xg(s)ds\displaystyle h(x)=\frac{u(x)}{e^{\int_{0}^{x}g(s)ds}} 라 하자.

+5점 · h(x)=u(x)e∫0xg(s)ds\displaystyle h(x)=\frac{u(x)}{e^{\int_{0}^{x}g(s)ds}} 의 양변을 미분할 수 있다.

양변을 미분하면 h′(x)=u′(x)e∫0xg(s)ds−u(x)e∫0xg(s)dsg(x)(e∫0xg(s)ds)2\displaystyle h^{\prime}(x)=\frac{u^{\prime}(x)e^{\int_{0}^{x}g(s)ds}-u(x)e^{\int_{0}^{x}g(s)ds}g(x)}{\left(e^{\int_{0}^{x}g(s)ds}\right)^{2}} 이다.

+5점 · e∫0xg(s)ds{u′(x)−u(x)g(x)}≤0\displaystyle e^{\int_{0}^{x}g(s)ds}\{u^{\prime}(x)-u(x)g(x)\}\le 0임을 보일 수 있다.

[2-1]에 의해 e∫0xg(s)ds{u′(x)−u(x)g(x)}≤0\displaystyle e^{\int_{0}^{x}g(s)ds}\{u^{\prime}(x)-u(x)g(x)\}\le 0 이다.

+5점 · h(0)=u(0)=C\displaystyle h(0)=u(0)=C임을 이용하여 부등식을 증명할 수 있다.

또한, h(0)=u(0)=C\displaystyle h(0)=u(0)=C이므로 h(x)≤C\displaystyle h(x)\le C 즉, u(x)e∫0xg(s)ds≤C\displaystyle \frac{u(x)}{e^{\int_{0}^{x}g(s)ds}}\le C이므로 u(x)≤Ce∫0xg(s)ds\displaystyle u(x)\le Ce^{\int_{0}^{x}g(s)ds}이고,f(x)≤Ce∫0xg(s)ds\displaystyle f(x)\le Ce^{\int_{0}^{x}g(s)ds}가 성립한다.

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