의학계 3번

(ⅱ) $\displaystyle X = 2$일 때,$\displaystyle 10$을 $\displaystyle 2$개의 자연수로 분할한 것 중 만족하는 경우는 $\displaystyle 10 = 7 + 3 = 8 + 2 = 9 + 1$이다.따라서 구하는 경우의 수는$\displaystyle {}_{10}\mathrm{C}_{7}\times{}_{3}\mathrm{C}_{3}+{}_{10}\mathrm{C}_{8}\times{}_{2}\mathrm{C}_{2}+{}_{10}\mathrm{C}_{9}\times{}_{1}\mathrm{C}_{1}=120+45+10=175$(가지)

(ⅲ) $\displaystyle X = 3$일 때,$\displaystyle 10$을 $\displaystyle 3$개의 자연수로 분할한 것 중 만족하는 경우는 $\displaystyle 10 = 7 + 2 + 1 = 6 + 3 + 1$이다.따라서 구하는 경우의 수는$\displaystyle {}_{10}\mathrm{C}_{7}\times{}_{3}\mathrm{C}_{2}\times{}_{1}\mathrm{C}_{1}+{}_{10}\mathrm{C}_{6}\times{}_{4}\mathrm{C}_{3}\times{}_{1}\mathrm{C}_{1}=360+840=1200$(가지)

(ⅳ) $\displaystyle X \ge 4$이면 만족하는 자연수 분할이 존재하지 않는다.그러므로 주어진 조건을 만족하는 개수는 $\displaystyle 1 + 175 + 1200 = 1376$(가지)이다.

(ⅰ) $\displaystyle n_{i}$ 중 적어도 하나가 $\displaystyle 1$일 때,일반성을 잃지 않고 $\displaystyle n_{k} = 1$라 가정하면$\displaystyle n=\underbrace{n_1+n_2+\cdots+n_{k-1}+1}_{k\text{개}}=\underbrace{n_1+n_2+\cdots+(n_{k-1}+1)}_{(k-1)\text{개}}$이다. 이 때,$\displaystyle n_1\times n_2\times\cdots\times(n_{k-1}+1)-n_1\times n_2\times\cdots\times n_{k-1}\times1=n_1\times n_2\times\cdots\times n_{k-1}>0$이므로 $\displaystyle M ( n )$이 최댓값을 가지려면 $\displaystyle n_{i}$는 $\displaystyle 2$이상이다.

(ⅱ) $\displaystyle n_{i}$가 홀수인 소수일 때,㉠ $\displaystyle n_{i} = 3$이면 $\displaystyle 3 = 2 + 1$이고 $\displaystyle 3 > 2 \times 1$이므로 $\displaystyle 3$은 그대로 사용한다.㉡ $\displaystyle n_{i} > 3$인 홀수인 소수이면$\displaystyle 2$이상인 두 자연수 $\displaystyle m_{1}$, $\displaystyle m_{2}$에 대하여 $\displaystyle n_{i} = m_{1} + m_{2}$로 나타낼 수 있다.$\displaystyle m_{1} \times m_{2} = m_{1} ( n_{i} - m_{1} ) = - m_{1}^{2} + n_{i} m_{1}= - \left( m_{1} - \frac{n_{i}}{2} \right)^{2} + \frac{{n_{i}^{2}}}{4}$$\displaystyle m_{1} = \frac{n_{i}}{2}$에서 $\displaystyle m_{1} \times m_{2}$의 곱이 최대를 가진다. 하지만 $\displaystyle n_{i}$가 홀수이므로 두 수 $\displaystyle m_{1}$, $\displaystyle m_{2}$의 곱이 최대가 되는 경우는 $\displaystyle \frac{{n_{i}}}{2}$에 가까운 두 자연수일 때, 즉$\displaystyle n_{i} = \frac{{n_{i} - 1}}{2} + \frac{{n_{i} + 1}}{2}$이고 $\displaystyle n_{i} \leq \frac{{n_{i} - 1}}{2} \times \frac{{n_{i} + 1}}{2}$를 만족하는 $\displaystyle n_{i}$의 범위를 구하면$\displaystyle n_{i} \geq 2 + \sqrt{5} = 4 . \times \times \times$그러므로 $\displaystyle n_{i}$가 $\displaystyle 5$이상인 홀수인 소수인 경우 $\displaystyle 2$이상 $\displaystyle n_{i}$보다 작은 두 수로 분할하여 곱한 값이 크다.

(ⅲ) $\displaystyle n_{i} \ge 6$인 합성수일 때,$\displaystyle 6 = 2 + 2 + 2 = 4 + 2 = 3 + 3$으로 분할할 수 있으며 가장 큰 곱은 $\displaystyle 3^{2}$이다.따라서 $\displaystyle 6$보다 큰 자연수의 경우 위의 (ⅱ), (ⅲ)의 경우를 반복할 수 있고, $\displaystyle M ( n )$이 가장 큰 곱을 가지려면 $\displaystyle n_{i}$는 $\displaystyle 2$, $\displaystyle 3$, $\displaystyle 4$의 자연수로 구성된다.

(1) $\displaystyle n = 40$일 때,$\displaystyle 40=\underbrace{3+3+\cdots+3}_{12\text{개}}+2+2=\underbrace{3+3+\cdots+3}_{12\text{개}}+4$로 분할할 수 있고$\displaystyle M ( 40 ) = 3^{12} \times 4$ 이다.

(2) 한편 카드를 뽑는 방법의 수는$\displaystyle \begin{aligned}&\left({}_{40}\mathrm{C}_{3}\times{}_{37}\mathrm{C}_{3}\times\cdots\times{}_{7}\mathrm{C}_{3}\times{}_{4}\mathrm{C}_{2}\times{}_{2}\mathrm{C}_{2}\times\frac1{12!}\times\frac1{2!}\right)\times14!\\&+\left({}_{40}\mathrm{C}_{3}\times{}_{37}\mathrm{C}_{3}\times\cdots\times{}_{7}\mathrm{C}_{3}\times{}_{4}\mathrm{C}_{4}\times\frac1{12!}\right)\times13!\\&=\frac{91}4\times\frac{40!}{6^{12}}+\frac{13}{24}\times\frac{40!}{6^{12}}=\frac{559}{24}\times\frac{40!}{6^{12}}=\frac{559}4\times\frac{40!}{6^{13}}\end{aligned}$따라서 구하는 $\displaystyle p + q = 559 + 4 = 563$이다.