수리논술, 이게 다다.

의학계 1번

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부산대 2020학년도 모의 의학계 1번 · 해설강의 무료 공개 · mathesis.kr/archive/pusan/2020mo/uihak_1

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문제

【문항 1】다음 제시문을 이용하여 아래 논제의 풀이 과정과 답을 논리적으로 서술하시오.

(가) 평면 위의 세 점 A,B,C\displaystyle \mathrm{A} , \mathrm{B} , \mathrm{C}에 대하여 다음이 성립한다.① AB→+BC→=AC→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}} + \overrightarrow{\mathrm{BC}} = \overrightarrow{\mathrm{AC}} ② AB→−AC→=CB→\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{AB}}} - {\overrightarrow{\mathrm{AC}}} = {\overrightarrow{\mathrm{CB}}}

(나) 영벡터가 아닌 두 벡터 a→,b→\displaystyle {\overrightarrow{a}} , {\overrightarrow{b}}에 대하여 ∣a→+b→∣2=∣a→∣2+2a→⋅b→+∣b→∣2\displaystyle \left| {\overrightarrow{a}} + {\overrightarrow{b}} \right|^{2} = \left| {\overrightarrow{a}} \right|^{2} + 2 {\overrightarrow{a}} \cdot {\overrightarrow{b}} + \left| {\overrightarrow{b}} \right|^{2}이 성립한다.

중심이 O(0,0)\displaystyle \mathrm{O} ( 0 , 0 )이고 점 A(2,0)\displaystyle \mathrm{A} ( 2 , 0 )을 지나는 원 C\displaystyle C가 있다. OA‾\displaystyle \overline{\mathrm{OA}} 위에 OP‾=t(0≤t≤2)\displaystyle {\overline{\mathrm{OP}}} = t ( 0 \le t \le 2 )인 점 P\displaystyle \mathrm{P}와 원 C\displaystyle C 위의 임의의 점 Q\displaystyle \mathrm{Q}에 대하여 QR‾=PR‾\displaystyle {\overline{\mathrm{QR}}} = {\overline{\mathrm{PR}}}를 만족하는 OQ‾\displaystyle {\overline{\mathrm{OQ}}} 위의 점 R\displaystyle \mathrm{R}가 존재한다. 다음 물음에 답하시오.

[1-1] 점 R\displaystyle \mathrm{R}가 나타내는 도형의 방정식을 t\displaystyle t에 관한 식으로 나타내시오. (10점)

[1-2] 0<t<2\displaystyle 0 < t < 2일 때, OR→⋅PQ→\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{OR}}} \cdot {\overrightarrow{\mathrm{PQ}}}를 t\displaystyle t에 관한 식으로 나타내시오. (10점)

[1-3] t=1\displaystyle t = 1일 때, PQ‾\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}의 중점 M\displaystyle \mathrm{M}에 대하여 RM→=TR→\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{RM}}} = {\overrightarrow{\mathrm{TR}}}를 만족하는 y\displaystyle y축 위의 점 T\displaystyle \mathrm{T}가 존재한다. 이 때, OR→⋅PR→\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{OR}}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PR}}의 값을 구하시오. (10점)

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[1-2]

제시문 (가)와 벡터의 크기의 정의에 의해

QR=∣RQ→∣=∣OQ→−OR→∣,PR=∣RP→∣=∣OP→−OR→∣\displaystyle \begin{aligned}QR&=\left|\overrightarrow{RQ}\right|=\left|\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OR}\right|,\\PR&=\left|\overrightarrow{RP}\right|=\left|\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OR}\right|\end{aligned}

이다. OQ=2\displaystyle OQ=2, OP=t\displaystyle OP=t이므로 제시문 (나)를 적용하면

QR2=4−2OR→⋅OQ→+∣OR→∣2,PR2=t2−2OR→⋅OP→+∣OR→∣2.\displaystyle \begin{aligned}QR^{2}&=4-2\overrightarrow{OR}\cdot\overrightarrow{OQ}+\left|\overrightarrow{OR}\right|^{2},\\PR^{2}&=t^{2}-2\overrightarrow{OR}\cdot\overrightarrow{OP}+\left|\overrightarrow{OR}\right|^{2}.\end{aligned}

주어진 조건 QR=PR\displaystyle QR=PR에 의해 두 식을 빼면

0=QR2−PR2=4−t2−2OR→⋅(OQ→−OP→)=4−t2−2OR→⋅PQ→.\displaystyle \begin{aligned}0&=QR^{2}-PR^{2}\\&=4-t^{2}-2\overrightarrow{OR}\cdot(\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP})\\&=4-t^{2}-2\overrightarrow{OR}\cdot\overrightarrow{PQ}.\end{aligned}

따라서

OR→⋅PQ→=4−t22=2−t22\displaystyle \overrightarrow{OR}\cdot\overrightarrow{PQ}=\frac{4-t^{2}}{2}=2-\frac{t^{2}}{2}

이다.

[1-3]

t=1\displaystyle t=1이므로 OP=1\displaystyle OP=1이고, OQ=2\displaystyle OQ=2이다.점 R\displaystyle R은 선분 OQ\displaystyle OQ 위에 있으므로

OR→=λOQ→(0≤λ≤1)\displaystyle \overrightarrow{OR}=\lambda\overrightarrow{OQ}\qquad(0\leq\lambda\leq1)

로 놓고, c=OP→⋅OQ→\displaystyle c=\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}라 하자.벡터의 내적의 정의에 의해 −2≤c≤2\displaystyle -2\leq c\leq2이다.

Advice. 앞뒤 문제를 활용하라: 1-2번에서 구한 내적식에 t=1\displaystyle t=1을 대입하면 1-3번에 필요한 관계식을 바로 얻는다. 여기에 중점 조건과 T\displaystyle T가 y\displaystyle y축 위에 있다는 조건을 연결하여 연립한다.

1-2번의 결과에 t=1\displaystyle t=1을 대입하면

32=OR→⋅PQ→=λOQ→⋅(OQ→−OP→)=λ(4−c).\displaystyle \begin{aligned}\frac32&=\overrightarrow{OR}\cdot\overrightarrow{PQ}\\&=\lambda\overrightarrow{OQ}\cdot(\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP})\\&=\lambda(4-c).\end{aligned}

한편, M\displaystyle M은 선분 PQ\displaystyle PQ의 중점이고,RM→=TR→\displaystyle \overrightarrow{RM}=\overrightarrow{TR}에서 R\displaystyle R은 선분 MT\displaystyle MT의 중점이므로

2OR→=OM→+OT→=OP→+OQ→2+OT→.\displaystyle \begin{aligned}2\overrightarrow{OR}&=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OT}\\&=\frac{\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}}2+\overrightarrow{OT}.\end{aligned}

OR→=λOQ→\displaystyle \overrightarrow{OR}=\lambda\overrightarrow{OQ}를 대입하여 정리하면

2OT→=(4λ−1)OQ→−OP→\displaystyle 2\overrightarrow{OT}=(4\lambda-1)\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}

이다. P=(1,0)\displaystyle P=(1,0)이고 T\displaystyle T는 y\displaystyle y축 위의 점이므로OP→⋅OT→=0\displaystyle \overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OT}=0이다.따라서 위 식의 양변에 OP→\displaystyle \overrightarrow{OP}를 내적하면

0=(4λ−1)c−1\displaystyle 0=(4\lambda-1)c-1

이다. 앞서 얻은 λ(4−c)=32\displaystyle \lambda(4-c)=\frac32에서 4−c>0\displaystyle 4-c>0이므로λ=32(4−c)\displaystyle \lambda=\frac{3}{2(4-c)}를 대입하면

(64−c−1)c=1,c(c+2)=4−c,(c−1)(c+4)=0.\displaystyle \begin{aligned}\left(\frac6{4-c}-1\right)c&=1,\\c(c+2)&=4-c,\\(c-1)(c+4)&=0.\end{aligned}

−2≤c≤2\displaystyle -2\leq c\leq2이므로 c=1\displaystyle c=1이고, λ=12\displaystyle \lambda=\frac12이다.따라서 제시문 (가)에 의해

OR→⋅PR→=OR→⋅(OR→−OP→)=14∣OQ→∣2−12OQ→⋅OP→=14×4−12×1=12.\displaystyle \begin{aligned}\overrightarrow{OR}\cdot\overrightarrow{PR}&=\overrightarrow{OR}\cdot(\overrightarrow{OR}-\overrightarrow{OP})\\&=\frac14\left|\overrightarrow{OQ}\right|^{2}-\frac12\overrightarrow{OQ}\cdot\overrightarrow{OP}\\&=\frac14\times4-\frac12\times1\\&=\frac12.\end{aligned}

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