의학계 1번

$\displaystyle \overline{\mathrm{OQ}} = 2$이고, $\displaystyle {\overline{\mathrm{OQ}}} = \overline{\mathrm{OR}} + \overline{\mathrm{RQ}} = \overline{\mathrm{OR}} + \overline{\mathrm{PR}}$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OR}}} + {\overline{\mathrm{PR}}} = 2$이다. 따라서 점 $\displaystyle \mathrm{R}$은 두 점 $\displaystyle \mathrm{O} , \mathrm{P}$로부터 거리의 합이 $\displaystyle 2$로 일정한 점이다.

ⅰ) $\displaystyle t = 0$이면 점 $\displaystyle \mathrm{P}$가 원점이 되므로 점 $\displaystyle \mathrm{R}$이 나타내는 도형은 중심이 원점이고 반지름의 길이가 $\displaystyle 1$인 원과 같다. 따라서 $\displaystyle x^{2} + y^{2} = 1$이다.

ⅱ) $\displaystyle t = 2$이면 점 $\displaystyle \mathrm{P}$가 점 $\displaystyle \mathrm{A}$가 되고 $\displaystyle 2 = {\overline{\mathrm{OA}}} \leq {\overline{\mathrm{OR}}} + {\overline{\mathrm{AR}}} \leq {\overline{\mathrm{OR}}} + {\overline{\mathrm{PR}}} = 2$이므로 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$가 점 $\displaystyle \mathrm{A}$가 아닌 위치에 있을 때, 점 $\displaystyle \mathrm{R}$이 나타내는 도형은 $\displaystyle ( 0 , 0 )$이고, 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$가 점 $\displaystyle \mathrm{A}$의 위치에 있을 때, 점 $\displaystyle \mathrm{R}$이 나타내는 도형은 $\displaystyle y = 0 ( 0 \le x \le 2 )$이다.

ⅲ) $\displaystyle 0 < t < 2$이면 점 $\displaystyle \mathrm{R}$은 서로 다른 두 점 $\displaystyle \mathrm{O} , \mathrm{P}$로부터 거리의 합이 $\displaystyle 2$로 일정한 점이 되어 타원 위의 점이 된다. 즉, $\displaystyle \mathrm{O} ( 0 , 0 )$과 $\displaystyle {\mathrm{P}} ( t , 0 )$을 초점으로 하고 장축의 길이가 $\displaystyle 2$인 타원의 방정식은, 두 점 $\displaystyle \mathrm{O}^{\prime} \left( - \frac{{t}}{2} , 0 \right)$과 $\displaystyle {\mathrm{P}^{\prime}} \left( \frac{{t}}{2} , 0 \right)$을 초점으로 하고 장축의 길이가 $\displaystyle 2$인 타원을, $\displaystyle x$축 방향으로 $\displaystyle \frac{{t}}{2}$만큼 평행이동한 방정식과 같다. 따라서$\displaystyle {\left( x - \frac{{t}}{2} \right)^{2}} + \frac{{y^{2}}}{1 - \frac{{t^{2}}}{4}} = 1$이다.

$\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{OR}}} \cdot {\overrightarrow{\mathrm{PQ}}} = {\overrightarrow{\mathrm{OR}}} \cdot ( {\overrightarrow{\mathrm{PR}}} + {\overrightarrow{\mathrm{RQ}}} ) = {\overrightarrow{\mathrm{OR}}} \cdot {\overrightarrow{\mathrm{RQ}}} + {\overrightarrow{\mathrm{OR}}} \cdot {\overrightarrow{\mathrm{PR}}}$과 같다. … ①

한편 $\displaystyle \left| {\overrightarrow{\mathrm{OR}}} \right| = k ( 0 < k < 2 )$라 두면, $\displaystyle \left| {\overrightarrow{\mathrm{RQ}}} \right| = \left| {\overrightarrow{\mathrm{PR}}} \right| = 2 - k$이다.또한, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{RP}}-\overrightarrow{\mathrm{RO}}=\overrightarrow{\mathrm{OR}}-\overrightarrow{\mathrm{PR}}$이므로 $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^2=|\overrightarrow{\mathrm{OR}}-\overrightarrow{\mathrm{PR}}|^2$이다.$\displaystyle t^{2} = k^{2} + ( 2 - k )^{2} - 2 {\overrightarrow{\mathrm{OR}}} \cdot {\overrightarrow{\mathrm{PR}}}$이므로 $\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{OR}}} \cdot {\overrightarrow{\mathrm{PR}}} = k^{2} - 2 k + 2 - \frac{{t^{2}}}{2}$이다.

따라서 ①에$\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{OR}}} \cdot {\overrightarrow{\mathrm{PQ}}} = {\overrightarrow{\mathrm{OR}}} \cdot ( {\overrightarrow{\mathrm{PR}}} + {\overrightarrow{\mathrm{RQ}}} ) = k ( 2 - k ) + {\overrightarrow{\mathrm{OR}}} \cdot {\overrightarrow{\mathrm{PR}}} = 2 - \frac{{t^{2}}}{2}$이다.

$\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{RM}}} = {\overrightarrow{\mathrm{TR}}}$에서 $\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{RM}}} + {\overrightarrow{\mathrm{RT}}} = {\overrightarrow{0}}$이므로 점 $\displaystyle \mathrm{R}$은 두 점 $\displaystyle \mathrm{M} , \mathrm{T}$의 중점이어야 한다. … ①

ⅰ) 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$의 좌표를 $\displaystyle ( a , b )$라 하자. 그러면 $\displaystyle a^{2} + b^{2} = 4$이다.ⅱ) 점 $\displaystyle \mathrm{M}$은 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}$의 중점이므로 $\displaystyle \mathrm{M} \left( \frac{{1 + a}}{2} , \frac{{b}}{2} \right)$이다. 한편, 점 $\displaystyle \mathrm{R}$은 두 직선 $\displaystyle \mathrm{OQ}$와 $\displaystyle \mathrm{MR}$의 교점이다.직선 $\displaystyle \mathrm{OQ}$의 방정식은$\displaystyle y = \frac{{b}}{a} x$ … ②이고, 직선 $\displaystyle \mathrm{MR}$은 점 $\displaystyle \mathrm{M}$을 지나고 직선 $\displaystyle \mathrm{PQ}$에 수직이다. 직선 $\displaystyle \mathrm{PQ}$의 기울기는 $\displaystyle \frac{{b}}{a - 1}$이므로 직선 $\displaystyle \mathrm{MR}$의 방정식은$\displaystyle y = \frac{{1 - a}}{b} \left( x - \frac{{a + 1}}{2} \right) + \frac{{b}}{2}$ 즉, $\displaystyle y = \frac{{1 - a}}{b} x + \frac{{3}}{2 b}$ … ③이다. 따라서 ②, ③에 의해서 $\displaystyle \frac{{b}}{a} x = \frac{{1 - a}}{b} x + \frac{{3}}{2 b}$가 되어 $\displaystyle x = \frac{{3 a}}{2 ( 4 - a )}$ 즉, 점 $\displaystyle \mathrm{R}$의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle \frac{{3 a}}{2 ( 4 - a )}$이다.

ⅲ) ①에 의해서 점 $\displaystyle \mathrm{R}$의 $\displaystyle x$좌표의 $\displaystyle 2$배가 점 $\displaystyle \mathrm{M}$의 $\displaystyle x$좌표가 된다.따라서 $\displaystyle 2 \times \frac{{3 a}}{2 ( 4 - a )} = \frac{{a + 1}}{2}$을 만족하는 $\displaystyle a = 1$이다$\displaystyle ( - 2 \le a \le 2 )$.이를 만족하는 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$의 좌표는 $\displaystyle ( 1 , \sqrt{3} )$이 된다.

따라서 점 $\displaystyle \mathrm{R}$은 타원의 단축 위의 꼭짓점이 되어$\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{OR}}} \cdot {\overrightarrow{\mathrm{PR}}} = 1 \times 1 \times \cos \frac{{\pi}}{3} = \frac{{1}}{2}$이다.