수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.

자연계열 2번

부산대 2020학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/pusan/2020mo/jayeon_2

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문제

[문항 2] 다음 제시문을 이용하여 아래 논제의 풀이 과정과 답을 논리적으로 서술하시오.

(가) 점 A(x1,y1,z1)\displaystyle \mathrm{A} ( x_{1} , y_{1} , z_{1} )을 지나고 영벡터가 아닌 벡터 n→=(a,b,c)\displaystyle {\overrightarrow{n}} = ( a , b , c )에 수직인 평면의 방정식은a(x−x1)+b(y−y1)+c(z−z1)=0\displaystyle a ( x - x_{1} ) + b ( y - y_{1} ) + c ( z - z_{1} ) = 0

(나) 점 A(x0,y0,z0)\displaystyle \mathrm{A} \left( x_{0} , y_{0} , z_{0} \right)과 평면 ax+by+cz+d=0\displaystyle a x + b y + c z + d = 0 사이의 거리는∣ax0+by0+cz0+d∣a2+b2+c2\displaystyle \frac{{\left| a x_{0} + b y_{0} + c z_{0} + d \right|}}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}

(다) 영벡터가 아닌 두 벡터 a→\displaystyle {\overrightarrow{a}}, b→\displaystyle {\overrightarrow{b}}가 이루는 각의 크기가 θ\displaystyle \theta일 때, a→⋅b→=∣a→∣∣b→∣cos⁡θ\displaystyle {\overrightarrow{a}} \cdot {\overrightarrow{b}} = \left| {\overrightarrow{a}} \right| \left| {\overrightarrow{b}} \right| \cos \theta이다.

좌표공간의 세 점 O(0,0,0)\displaystyle \mathrm{O} ( 0 , 0 , 0 ), A(−4,0,0)\displaystyle \mathrm{A} ( - 4 , 0 , 0 ), B(3,−1,6)\displaystyle \mathrm{B} ( 3 , - 1 , \sqrt{6} )에 대하여∠AOB=∠AOC=∠BOD,∣OC→∣=∣OD→∣=2\displaystyle \angle\mathrm{AOB}=\angle\mathrm{AOC}=\angle\mathrm{BOD},\quad|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OD}}|=2를 만족하는 점 C\displaystyle \mathrm{C}, D\displaystyle \mathrm{D}가 존재할 때, 다음 물음에 답하시오.

[2-1] 사면체 OABC\displaystyle \mathrm{OABC}의 부피가 최대가 될 때, 점 C\displaystyle \mathrm{C}의 좌표를 모두 구하시오. (20점)

[2-2] BD→⋅AC→\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{BD}}} \cdot {\overrightarrow{\mathrm{AC}}}가 최대가 될 때, OB→⋅OC→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}의 값을 구하시오. (20점)

해설강의 준비중

부산대 2020학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/pusan/2020mo/jayeon_2

[2-1]

+6점 · 세 점을 지나는 평면의 방정식을 세울 수 있다.

세 점 O(0,0,0)\displaystyle \mathrm{O} ( 0 , 0 , 0 ), A(−4,0,0)\displaystyle \mathrm{A} ( - 4 , 0 , 0 ), B(3,−1,6)\displaystyle \mathrm{B} \left( 3 , - 1 , \sqrt{6} \right)을 지나는 평면의 방정식을 ax+by+cz=0\displaystyle a x + b y + c z = 0이라 두면−4a=0\displaystyle - 4 a = 0, 3a−b+6c=0\displaystyle 3 a - b + \sqrt{6} c = 0에서 a=0\displaystyle a = 0, b=6c\displaystyle b = \sqrt{6} c이고 평면의 방정식은6y+z=0\displaystyle \sqrt{6} y + z = 0이다.

사면체 OABC와 점 C의 평면 OAB 위 정사영 H
+6점 · 점 H\displaystyle \mathrm{H}는 H(t,0,0)\displaystyle \mathrm{H}(t,0,0)라 두고 t\displaystyle t의 값을 구할 수 있다.

사면체 OABC\displaystyle \mathrm{OABC}의 부피가 최대가 될 때, 점 C\displaystyle \mathrm{C}의 평면 OAB\displaystyle \mathrm{OAB} 위로의 정사영 한 점 H\displaystyle \mathrm{H}는 두 점 O\displaystyle \mathrm{O}, A\displaystyle \mathrm{A}를 지나는 직선 위에 있다. 따라서 두 점 O\displaystyle \mathrm{O}, A\displaystyle \mathrm{A}를 지나는 직선의 방정식은 x\displaystyle x축이고, 점 H\displaystyle \mathrm{H}는 H(t,0,0)\displaystyle \mathrm{H} ( t , 0 , 0 )라 둘 수 있다.∠AOB=∠AOC=∠BOD=θ\displaystyle \angle \mathrm{AOB} = \angle \mathrm{AOC} = \angle \mathrm{BOD} = \theta라 두면cos⁡θ=−124⋅4=−34\displaystyle \cos \theta = \frac{{- 12}}{4 \cdot 4} = - \frac{{3}}{4}이므로t2=cos⁡(π−θ)=34\displaystyle \frac{{t}}{2} = \cos ( \pi - \theta ) = \frac{{3}}{4}이다. 따라서 점 H\displaystyle \mathrm{H}는 H(32,0,0)\displaystyle \mathrm{H} \left( \frac{{3}}{2} , 0 , 0 \right)이다.

+8점 · CH→=(0,6t,t)\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CH}}=(0,\sqrt6t,t)를 이용 점 C\displaystyle \mathrm{C}의 좌표를 구할 수 있다.

한편, C(32,m,n)\displaystyle \mathrm{C}\left(\frac32,m,n\right)라 두면, CH→=(0,m,n)\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CH}}=(0,m,n)이고CH→=(0,6t,t)\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CH}}=(0,\sqrt6t,t)로 둘 수 있다. ∣CH→∣=72=7t2\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{CH}}|=\frac{\sqrt7}2=\sqrt{7t^2}이므로 t=±12\displaystyle t=\pm\frac12이므로 점 C\displaystyle \mathrm{C}의 좌표는(32,62,12)\displaystyle \left( \frac{{3}}{2} , \frac{{\sqrt{6}}}{2} , \frac{{1}}{2} \right), (32,−62,−12)\displaystyle \left( \frac{{3}}{2} , - \frac{{\sqrt{6}}}{2} , - \frac{{1}}{2} \right)이다.

[2-2]

+6점 · 두 벡터의 내적이 최댓값을 가질 때 조건을 구할 수 있다.

BD→⋅AC→=(BO→+OD→)⋅(AO→+OC→)=BO→⋅AO→+BO→⋅OC→+OD→⋅AO→+OD→⋅OC→=OB→⋅OA→−OB→⋅OC→−OD→⋅OA→+OD→⋅OC→\displaystyle \begin{aligned}\overrightarrow{\mathrm{BD}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}&=(\overrightarrow{\mathrm{BO}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}})\cdot(\overrightarrow{\mathrm{AO}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}})\\&=\overrightarrow{\mathrm{BO}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AO}}+\overrightarrow{\mathrm{BO}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AO}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}\\&=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}-\overrightarrow{\mathrm{OD}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}\end{aligned}이므로 BD→⋅AC→\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{BD}}} \cdot {\overrightarrow{\mathrm{AC}}}의 최댓값은, OB→⋅OC→\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{OB}}} \cdot {\overrightarrow{\mathrm{OC}}}가 최소이고 OD→⋅OA→\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{OD}}} \cdot {\overrightarrow{\mathrm{OA}}}가 최소이고 OD→⋅OC→\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{OD}}} \cdot {\overrightarrow{\mathrm{OC}}}가 최대이면 된다.

+6점 · OD→⋅OC→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OD}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}가 최대가 되는 조건을 구할수 있다.

여기서 OB→⋅OA→=(−4,0,0)⋅(1,−3,6)=−4\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{OB}}} \cdot {\overrightarrow{\mathrm{OA}}} = ( - 4 , 0 , 0 ) \cdot ( 1 , - 3 , \sqrt{6} ) = - 4이고, OB→⋅OC→\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{OB}}} \cdot {\overrightarrow{\mathrm{OC}}}가 최소이고 OD→⋅OA→\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{OD}}} \cdot {\overrightarrow{\mathrm{OA}}}가 최소이고 OD→⋅OC→\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{OD}}} \cdot {\overrightarrow{\mathrm{OC}}}가 최대가 되기 위해서는 점 C,D\displaystyle \mathrm{C} , \mathrm{D}가 평면 OAB\displaystyle \mathrm{OAB} 위에 있을 때, 즉,∠BOC=∠DOA=2π−2θ\displaystyle \angle \mathrm{BOC} = \angle \mathrm{DOA} = 2 \pi - 2 \theta

+8점 · 내적의 최댓값을 구할 수 있다.

이다. 그러므로OB→⋅OC→=4×2×cos⁡(2π−2θ)=8cos⁡2θ\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{OB}}} \cdot {\overrightarrow{\mathrm{OC}}} = 4 \times 2 \times \cos ( 2 \pi - 2 \theta ) = 8 \cos 2 \theta인데 cos⁡2θ=2cos⁡2θ−1=18\displaystyle \cos 2 \theta = 2 \cos^{2} \theta - 1 = \frac{{1}}{8} 이므로 OB→⋅OC→=1\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{OB}}} \cdot {\overrightarrow{\mathrm{OC}}} = 1이다.

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