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자연계열 1번

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부산대 2020학년도 수시 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/pusan/2020su/jayeon_1

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문제

[문항 1] 다음 제시문을 이용하여 아래 논제의 풀이 과정과 답을 논리적으로 서술하시오.

(가) 서로 다른 n\displaystyle n개에서 순서를 생각하지 않고 r (0≤r≤n)\displaystyle r\ (0\le r\le n)개를 택하는 것을 n\displaystyle n개에서 r\displaystyle r개를 택하는 조합이라고 하며, 이 조합의 수는nCr=n!r!×(n−r)!\displaystyle {}_{n}\mathrm{C}_{r}=\frac{n!}{r!\times(n-r)!} (단, 0!=1\displaystyle 0!=1)이다.

(나) 서로 다른 n\displaystyle n개에서 중복을 허락하여 r\displaystyle r개를 택하는 중복조합의 수는 nHr=n+r−1Cr\displaystyle {}_{n} {\mathrm{H}} _ {r} = {}_{n + r - 1} {\mathrm{C}} _ {r}이다.

(다) 함수 f:X→Y\displaystyle f : X \to Y에서 정의역 X\displaystyle X의 임의의 원소 x1,x2\displaystyle x_{1} , x_{2}에 대하여 x1≠x2\displaystyle x_{1} \ne x_{2}이면 f(x1)≠f(x2)\displaystyle f \left( x_{1} \right) \ne f \left( x_{2} \right)일 때, 함수 f\displaystyle f를 X\displaystyle X에서 Y\displaystyle Y로의 일대일함수라고 한다.

※ 답은 nCr,nHr,n\displaystyle {}_{n} {\mathrm{C}} _ {r} , {}_{n} {\mathrm{H}} _ {r} , n! 등의 기호를 사용하지 않고 간단한 식으로 나타내시오.

(예 : nC1nH2+2!\displaystyle \frac{{{}_{n} {\mathrm{C}} _ {1}}}{{}_{n} {\mathrm{H}} _ {2} + 2 !}은 2nn2+n+4\displaystyle \frac{{2 n}}{n^{2} + n + 4}으로 적는다.)

두 집합 A={1,2,3}, B={x∣x는 10 이하의 자연수}\displaystyle A=\{1,2,3\},\ B=\{x\mid x\text{는 10 이하의 자연수}\}에 대하여 함수 f\displaystyle f는 정의역을 A\displaystyle A, 공역을 B\displaystyle B로 갖는다. n\displaystyle n이 자연수일 때, 다음 물음에 답하시오.

[1-1] 집합 A\displaystyle A의 임의의 원소 a\displaystyle a에 대하여 f(a)−a≥n\displaystyle f ( a ) - a \geq n을 만족하는 일대일함수 f\displaystyle f의 개수를 g(n)\displaystyle g ( n )이라 할 때, g(n)\displaystyle g ( n )을 n\displaystyle n에 관한 식으로 나타내시오. (단, n≤7\displaystyle n \leq 7) (10점)

[1-2] f(x+1)−f(x)≥n−1(x=1,2)\displaystyle f ( x + 1 ) - f ( x ) \geq n - 1 ( x = 1 , 2 )을 만족하는 함수 f\displaystyle f의 개수를 h(n)\displaystyle h ( n )이라 하자. h(1)\displaystyle h ( 1 )의 값을 구하고, 2≤n≤5\displaystyle 2 \leq n \leq 5일 때 h(n)\displaystyle h ( n )을 n\displaystyle n에 관한 다항식으로 나타내시오. (20점)

해설강의 준비중

부산대 2020학년도 수시 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/pusan/2020su/jayeon_1

[1-1]

1≤n≤7\displaystyle 1 \leq n \leq 7에 대하여f(1)≥n+1,f(2)≥n+2,f(3)≥n+3\displaystyle f ( 1 ) \geq n + 1 , f ( 2 ) \geq n + 2 , f ( 3 ) \geq n + 3

이므로 n+1≤f(1)≤10,n+2≤f(2)≤10,n+3≤f(3)≤10\displaystyle n + 1 \leq f ( 1 ) \leq 10 , n + 2 \leq f ( 2 ) \leq 10 , n + 3 \leq f ( 3 ) \leq 10을 만족해야 한다.

+3점 · f(3)\displaystyle f(3)이 가질 수 있는 값의 경우의 수를 바르게 구한다.

⑴ 우선 f(3)\displaystyle f ( 3 )의 값을 정하자. f(3)\displaystyle f ( 3 )은 n+3\displaystyle n + 3이상 10\displaystyle 10이하의 자연수 중 하나의 값을 가질 수 있다.10−(n+3)+1=8−n\displaystyle 10 - ( n + 3 ) + 1 = 8 - n(가지)

+3점 · f(2)\displaystyle f(2)가 가질 수 있는 값의 경우의 수를 바르게 구한다.

⑵ f(2)\displaystyle f ( 2 )는 n+2\displaystyle n + 2이상 10\displaystyle 10이하의 자연수 중 f(3)\displaystyle f ( 3 )이 아닌 하나의 값을 가질 수 있다.10−(n+2)+1−1=8−n\displaystyle 10 - ( n + 2 ) + 1 - 1 = 8 - n(가지)

+3점 · f(1)\displaystyle f(1)이 가질 수 있는 값의 경우의 수를 바르게 구한다.

⑶ f(1)\displaystyle f ( 1 )은 n+1\displaystyle n + 1이상 10\displaystyle 10이하의 자연수 중 f(2)\displaystyle f ( 2 )와 f(3)\displaystyle f ( 3 )이 아닌 하나의 값을 가질 수 있다.10−(n+1)+1−2=8−n\displaystyle 10 - ( n + 1 ) + 1 - 2 = 8 - n(가지)

+1점 · g(n)\displaystyle g(n)을 바르게 구한다.

따라서 일대일함수 f\displaystyle f의 개수 g(n)\displaystyle g ( n )은 (8−n)3\displaystyle ( 8 - n )^{3}(단, n≤7\displaystyle n \leq 7)이다.

[1-2]

+5점 · h(1)\displaystyle h(1)의 값을 바르게 구한다.

⑴ n=1\displaystyle n = 1일 때, f(2)−f(1)≥0,f(3)−f(2)≥0\displaystyle f ( 2 ) - f ( 1 ) \geq 0 , f ( 3 ) - f ( 2 ) \geq 0이므로 f(1)≤f(2)≤f(3)\displaystyle f ( 1 ) \leq f ( 2 ) \leq f ( 3 )을 만족하는 함수 f\displaystyle f의 개수는 집합 B\displaystyle B의 원소 10\displaystyle 10개 중에서 중복을 허락하여 3\displaystyle 3개를 뽑는 경우의 수와 같다. 따라서 h(1)=10H3=12C3=220\displaystyle h ( 1 ) = {}_{10} {\mathrm{H}} _ {3} = {}_{12} {\mathrm{C}} _ {3} = 220

+3점 · 2≤n≤5\displaystyle 2\le n\le5에서 h(n)\displaystyle h(n)을 만족하는 함수의 개수를 구하는 과정을 바르게 서술한다.

⑵ n≥2\displaystyle n \geq 2일 때, f(x+1)−f(x)≥n−1(x=1,2)\displaystyle f ( x + 1 ) - f ( x ) \geq n - 1 ( x = 1 , 2 )을 만족하는 함수 f\displaystyle f는f(2)≥f(1)+n−1,f(3)≥f(2)+n−1\displaystyle f ( 2 ) \geq f ( 1 ) + n - 1 , f ( 3 ) \geq f ( 2 ) + n - 1을 만족한다.따라서 f(1)\displaystyle f ( 1 )과 f(2),f(2)\displaystyle f ( 2 ) , f ( 2 )와 f(3)\displaystyle f ( 3 )사이에는 n−2\displaystyle n - 2개 이상의 집합 B\displaystyle B의 원소가 존재한다. 이때,

+6점 · f(1),f(2),f(3)\displaystyle f(1),f(2),f(3)의 값과 공역의 원소 사이의 관계를 이용한 방정식을 바르게 구한다.

f(1)\displaystyle f ( 1 )보다 작은 집합 B\displaystyle B의 원소의 개수를 a\displaystyle a,f(1)\displaystyle f ( 1 )보다 크고 f(2)\displaystyle f ( 2 )보다 작은 집합 B\displaystyle B의 원소의 개수를 b\displaystyle b,f(2)\displaystyle f ( 2 )보다 크고 f(3)\displaystyle f ( 3 )보다 작은 집합 B\displaystyle B의 원소의 개수를 c\displaystyle c,f(3)\displaystyle f ( 3 )보다 큰 집합 B\displaystyle B의 원소의 개수를 d\displaystyle d라 하면 a+b+c+d=7(a≥0,b≥n−2,c≥n−2,d≥0)\displaystyle a + b + c + d = 7 ( a \geq 0 , b \geq n - 2 , c \geq n - 2 , d \geq 0 )을 만족한다.b′=b−(n−2),c′=c−(n−2)\displaystyle b^{\prime} = b - ( n - 2 ) , c^{\prime} = c - ( n - 2 )이라 하면a+b′+c′+d=7−2(n−2)=11−2n(a,b′,c′,d≥0)\displaystyle a + b^{\prime} + c^{\prime} + d = 7 - 2 ( n - 2 ) = 11 - 2 n \left( a , b^{\prime} , c^{\prime} , d \geq 0 \right)이 되어 h(n)\displaystyle h ( n )은 방정식 a+b′+c′+d=11−2n(a,b′,c′,d≥0)\displaystyle a + b^{\prime} + c^{\prime} + d = 11 - 2 n \left( a , b^{\prime} , c^{\prime} , d \geq 0 \right)의 해의 개수와 같다.

+6점 · h(n)\displaystyle h(n)을 n\displaystyle n에 관한 식으로 바르게 구한다.

따라서 2≤n≤5\displaystyle 2 \leq n \leq 5일 때, h(n)=4H11−2n=14−2nC11−2n=14−2nC3\displaystyle h ( n ) = {}_{4} {\mathrm{H}} _ {11 - 2 n} = {}_{14 - 2 n} {\mathrm{C}} _ {11 - 2 n} = {}_{14 - 2 n} {\mathrm{C}} _ {3}이다.그러므로 h(n)=(14−2n)(13−2n)(6−n)3\displaystyle h ( n ) = \frac{{( 14 - 2 n ) ( 13 - 2 n ) ( 6 - n )}}{3}이다.

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