자연계열 3번

원뿔의 부피를 $\displaystyle V ( \theta )$라 두면$\displaystyle V ( \theta ) = \frac{{\pi}}{3} {\sin}^{2} \theta {\cos} \theta ,$

$\displaystyle \begin{aligned}V^{\prime}(\theta)&=\frac\pi3(2\sin\theta\cos^2\theta-\sin^3\theta)\\&=\frac\pi3\sin\theta(2\cos^2\theta-\sin^2\theta)\\&=\frac\pi3\sin\theta(3\cos^2\theta-1)\end{aligned}$이다.$\displaystyle V^{\prime} ( \theta ) = 0 \left( 0 < \theta < \frac{{\pi}}{2} \right)$을 만족하는 $\displaystyle \theta$의 값을 $\displaystyle k$라고 두면 $\displaystyle {\cos} k = \frac{{1}}{\sqrt{3}}$이다.

위의 증감표에서 $\displaystyle \theta = k$에서 원뿔의 부피는 최대가 되고, 그 때의 부피는 $\displaystyle \frac{{2 \pi}}{9 \sqrt{3}}$이다.

$\displaystyle S_1(\theta)=\frac\pi2\sin^2\theta$

$\displaystyle S_2(\theta)=\cos\theta\sin\theta+\pi-\theta$

이다. $\displaystyle f ( \theta ) = S_{1} ( \theta ) + S_{2} ( \theta ) \left( 0 < \theta < \frac{{\pi}}{2} \right)$라고 하면,$\displaystyle f ( \theta ) = \frac{{\pi}}{2} {\sin}^{2} \theta + {\cos} \theta {\sin} \theta + \pi - \theta$

$\displaystyle \begin{aligned}f^{\prime}(\theta)&=\pi\sin\theta\cos\theta-\sin^2\theta+\cos^2\theta-1\\&=\pi\cos\theta\sin\theta-2\sin^2\theta\\&=\sin\theta(\pi\cos\theta-2\sin\theta)\end{aligned}$이다. $\displaystyle f^{\prime} ( \theta ) = 0$을 만족하는 $\displaystyle \theta$의 값을 $\displaystyle p$라고 두면 증감표는 다음과 같다.

이것으로부터 $\displaystyle f ( \theta )$는 $\displaystyle \theta = p$일 때 최대이고, 이 때, 절단면의 넓이의 최댓값 $\displaystyle S$은$\displaystyle S=f(p)=\frac{3\pi}2-p$ ($\displaystyle \because\tan p=\frac\pi2$이므로 $\displaystyle \cos p=\frac2{\sqrt{4+\pi^2}},\ \sin p=\frac\pi{\sqrt{4+\pi^2}}$)이다.

이때, 도형 $\displaystyle L$의 호의 중심각이 $\displaystyle 2\times\angle\mathrm{POH}$이므로 호의 길이는 $\displaystyle 2p$이고도형 $\displaystyle L$의 밑변의 길이는 $\displaystyle 2\sin p=\frac{2\pi}{\sqrt{4+\pi^2}}$이므로$\displaystyle M=2p+\frac{2\pi}{\sqrt{4+\pi^2}}$이다.

따라서 $\displaystyle S + \frac{{M}}{2} = \frac{{3 \pi}}{2} - p + p + \frac{{\pi}}{\sqrt{4 + \pi^{2}}} = \frac{{3 \pi}}{2} + \frac{{\pi}}{\sqrt{4 + \pi^{2}}}$이다.