자연계열 3번

부산대 2020학년도 수시 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/pusan/2020su/jayeon_3

[문항 3] 다음 제시문을 이용하여 아래 논제의 풀이 과정과 답을 논리적으로 서술하시오.

(가) 미분가능한 두 함수 $\displaystyle y = f ( u ) , u = g ( x )$ 에 대하여 합성함수 $\displaystyle y = f ( g ( x ) )$ 는 미분가능하고, 그 도함수는 $\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$ 또는 $\displaystyle \{f(g(x))\}^{\prime}=f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)$

(나) 닫힌 구간 $\displaystyle [ a , b ]$ 에서 정의된 연속함수 $\displaystyle f ( x )$ 가 극값을 가질 때

1) 이 구간에서 함수 $\displaystyle f ( x )$ 의 최댓값은 극댓값, $\displaystyle f ( a ) , f ( b )$ 중에서 가장 큰 값이다.

2) 이 구간에서 함수 $\displaystyle f ( x )$ 의 최솟값은 극솟값, $\displaystyle f ( a ) , f ( b )$ 중에서 가장 작은 값이다.

중심이 $\displaystyle {\mathrm{O}}$ 이고, 반지름의 길이가 $\displaystyle 1$ 인 구에 대하여 다음 단계를 순서대로 시행한다.

[단계 1] 구를 평면 $\displaystyle \alpha$ 로 자른다. 이때, 생기는 두 도형을 각각 $\displaystyle A , B$ 라 하자. (단, $\displaystyle B$ 의 부피는 $\displaystyle A$ 의 부피보다 크거나 같다.)

[단계 2] 도형 $\displaystyle A$ 와 $\displaystyle B$ 를 평면 $\displaystyle \alpha$ 에 수직이고 구의 중심 $\displaystyle {\mathrm{O}}$ 를 지나는 평면 $\displaystyle \beta$ 로 자른다.이때, 도형 $\displaystyle B$ 에서 생기는 두 도형을 각각 $\displaystyle C , D$ 라 하자. 도형 $\displaystyle C$ 와 평면 $\displaystyle \alpha$ 가 만나서 생기는 단면을 $\displaystyle S_{1}$ , 도형 $\displaystyle C$ 와 평면 $\displaystyle \beta$ 가 만나서 생기는 단면을 $\displaystyle S_{2}$ , 도형 $\displaystyle A$ 와 평면 $\displaystyle \beta$ 가 만나서 생기는 단면을 $\displaystyle L$ 이라 하자.

구를 평면 α와 β로 잘라 만든 도형 A B C D와 단면 S1 S2 L

[3-1] [단계 1]에서 구와 평면 $\displaystyle \alpha$ 가 만나서 생기는 단면을 밑면으로 하고 중심 $\displaystyle {\mathrm{O}}$ 를 꼭짓점으로 하는 원뿔의 부피 중 최댓값을 구하시오. (10점)

[3-2] [단계 1]과 [단계 2]를 시행하여 생기는 두 단면 $\displaystyle S_{1} , S_{2}$ 의 넓이의 합의 최댓값을 $\displaystyle S$ 라 하고, 두 단면 $\displaystyle S_{1} , S_{2}$ 의 넓이의 합이 최대일 때 단면 $\displaystyle L$ 의 둘레의 길이를 $\displaystyle M$ 이라 하자. $\displaystyle S + \frac{{M}}{2}$ 의 값을 구하시오. (25점)

해설강의 준비중

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[3-1]

구의 중심 $\displaystyle {\mathrm{O}}$ 에서 평면 $\displaystyle \alpha$ 에 내린 수선의 발을 $\displaystyle {\mathrm{H}}$ 라 한다.그리고 구와 평면 $\displaystyle \alpha$ 가 만나서 생기는 단면의 경계 위의 한 점을 $\displaystyle {\mathrm{P}}$ 라 하고, $\displaystyle \angle {\mathrm{POH}} = \theta$ 라고 두자.

+4점 ·

\displaystyle V ( t ) = \frac{\pi}{3} ( 1 - t^{2} ) t = \frac{\pi}{3} ( t - t^{3} )

또는

\displaystyle V ( \theta ) = \frac{\pi}{3} \sin^{2} \theta \cos \theta

를 구할 수 있다.

원뿔의 부피를 $\displaystyle V ( \theta )$ 라 두면 $\displaystyle V ( \theta ) = \frac{{\pi}}{3} {\sin}^{2} \theta {\cos} \theta ,$

+3점 · 식을 미분하고 증감표를 작성하여 주어진 범위 내에 극댓값이 최댓값이 되는 이유를 설명할 수 있다. (증감표가 없더라도 주어진 범위 내에서 극대에서 최대가 됨을 설명하면 됨)

$\displaystyle \begin{aligned}V^{\prime}(\theta)&=\frac\pi3(2\sin\theta\cos^2\theta-\sin^3\theta)\\&=\frac\pi3\sin\theta(2\cos^2\theta-\sin^2\theta)\\&=\frac\pi3\sin\theta(3\cos^2\theta-1)\end{aligned}$ 이다. $\displaystyle V^{\prime} ( \theta ) = 0 \left( 0 < \theta < \frac{{\pi}}{2} \right)$ 을 만족하는 $\displaystyle \theta$ 의 값을 $\displaystyle k$ 라고 두면 $\displaystyle {\cos} k = \frac{{1}}{\sqrt{3}}$ 이다.

$\theta$	0	⋯	$k$	⋯	$\frac\pi2$
$V^{\prime}(\theta)$		+	0	−
$V(\theta)$		↗	$\frac{2\pi}{9\sqrt3}$	↘

+3점 · 원뿔의 부피의 최댓값

\displaystyle \frac{2\pi}{9\sqrt3}

를 구할 수 있다.

위의 증감표에서 $\displaystyle \theta = k$ 에서 원뿔의 부피는 최대가 되고, 그 때의 부피는 $\displaystyle \frac{{2 \pi}}{9 \sqrt{3}}$ 이다.

[3-2]

구의 중심 $\displaystyle {\mathrm{O}}$ 에서 평면 $\displaystyle \alpha$ 에 내린 수선의 발을 $\displaystyle {\mathrm{H}}$ 라 한다.

그리고 구와 두 평면 $\displaystyle \alpha , \beta$ 와의 두 교점 중 하나를 $\displaystyle {\mathrm{P}}$ 라 하고 $\displaystyle \angle {\mathrm{POH}} = \theta$ 라고 두자. 따라서 두 절단면의 넓이를 각각 $\displaystyle S_{1} ( \theta ) , S_{2} ( \theta )$ 라고 하면 $\displaystyle S_{1} ( \theta )$ 는 반지름이 $\displaystyle {\sin} \theta$ 인 반원의 넓이이고, $\displaystyle S_{2} ( \theta )$ 는 '반지름이 $\displaystyle 1$ , 중심각의 크기가 $\displaystyle 2 \pi - 2 \theta$ 인 부채꼴'과 '밑변이 $\displaystyle 2 {\sin} \theta$ 이고, 높이가 $\displaystyle {\cos} \theta$ 인 삼각형'의 넓이의 합으로 나타낼 수 있다. 따라서

+3점 ·

\displaystyle S_{1} ( \theta ) = \frac{\pi}{2} \sin^{2} \theta

를 구할 수 있다.

$\displaystyle S_1(\theta)=\frac\pi2\sin^2\theta$

+3점 ·

\displaystyle S_{2} ( \theta ) = \cos \theta \sin \theta + \pi - \theta

를 구할 수 있다.

$\displaystyle S_2(\theta)=\cos\theta\sin\theta+\pi-\theta$

+1점 ·

\displaystyle S_{1} ( \theta ) + S_{2} ( \theta ) = \frac{\pi}{2} \sin^{2} \theta + \cos \theta \sin \theta + \pi - \theta

로 나타낼 수 있다.

이다. $\displaystyle f ( \theta ) = S_{1} ( \theta ) + S_{2} ( \theta ) \left( 0 < \theta < \frac{{\pi}}{2} \right)$ 라고 하면, $\displaystyle f ( \theta ) = \frac{{\pi}}{2} {\sin}^{2} \theta + {\cos} \theta {\sin} \theta + \pi - \theta$

$\displaystyle \begin{aligned}f^{\prime}(\theta)&=\pi\sin\theta\cos\theta-\sin^2\theta+\cos^2\theta-1\\&=\pi\cos\theta\sin\theta-2\sin^2\theta\\&=\sin\theta(\pi\cos\theta-2\sin\theta)\end{aligned}$ 이다. $\displaystyle f^{\prime} ( \theta ) = 0$ 을 만족하는 $\displaystyle \theta$ 의 값을 $\displaystyle p$ 라고 두면 증감표는 다음과 같다.

$\theta$	0	⋯	$p$	⋯	$\frac\pi2$
$f^{\prime}(\theta)$		+	0	−
$f(\theta)$		↗	$\frac{3\pi}2-p$	↘

+4점 · 넓이가 최대가 되는

\displaystyle \theta

의 값을 임의의 문자

\displaystyle p

라 놓고 이때,

\displaystyle \tan p = \frac{\pi}{2}

\displaystyle \cos p = \frac{2}{\sqrt{4 + \pi^{2}}}

\displaystyle \sin p = \frac{\pi}{\sqrt{4 + \pi^{2}}}

임을 구할 수 있다.

+3점 ·

\displaystyle S = f ( p ) = 3 \frac{\pi}{2} - p

를 구할 수 있다.

이것으로부터 $\displaystyle f ( \theta )$ 는 $\displaystyle \theta = p$ 일 때 최대이고, 이 때, 절단면의 넓이의 최댓값 $\displaystyle S$ 은 $\displaystyle S=f(p)=\frac{3\pi}2-p$ ( $\displaystyle \because\tan p=\frac\pi2$ 이므로 $\displaystyle \cos p=\frac2{\sqrt{4+\pi^2}},\ \sin p=\frac\pi{\sqrt{4+\pi^2}}$ )이다.

+5점 ·

\displaystyle S

일 때,

\displaystyle M = 2 p + 2 \frac{\pi}{\sqrt{4 + \pi^{2}}}

의 값을 구할 수 있다.

이때, 도형 $\displaystyle L$ 의 호의 중심각이 $\displaystyle 2\times\angle\mathrm{POH}$ 이므로 호의 길이는 $\displaystyle 2p$ 이고도형 $\displaystyle L$ 의 밑변의 길이는 $\displaystyle 2\sin p=\frac{2\pi}{\sqrt{4+\pi^2}}$ 이므로 $\displaystyle M=2p+\frac{2\pi}{\sqrt{4+\pi^2}}$ 이다.

+3점 ·

\displaystyle S + \frac{M}{2} = 3 \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{\sqrt{4 + \pi^{2}}}

의 값을 구할 수 있다.

따라서 $\displaystyle S + \frac{{M}}{2} = \frac{{3 \pi}}{2} - p + p + \frac{{\pi}}{\sqrt{4 + \pi^{2}}} = \frac{{3 \pi}}{2} + \frac{{\pi}}{\sqrt{4 + \pi^{2}}}$ 이다.

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