의학계 1번

$\displaystyle f(x)=\ln\left(x+\sqrt{x^2-4}\right)\ (x>2)$를 미분하면$\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{1+\frac{2x}{2\sqrt{x^2-4}}}{x+\sqrt{x^2-4}}=\frac{\sqrt{x^2-4}+x}{\left(x+\sqrt{x^2-4}\right)\sqrt{x^2-4}}=\frac{1}{\sqrt{x^2-4}}$이다.

한편$\displaystyle \begin{aligned}I&=\int\sqrt{x^2-4}\,dx\\&=\int\left(1\times\sqrt{x^2-4}\right)dx=x\sqrt{x^2-4}-\int x\frac{2x}{2\sqrt{x^2-4}}\,dx\\&=x\sqrt{x^2-4}-\int\frac{x^2-4+4}{\sqrt{x^2-4}}\,dx=x\sqrt{x^2-4}-I-\int\frac{4}{\sqrt{x^2-4}}\,dx\end{aligned}$이다.

$\displaystyle \int\frac{4}{\sqrt{x^2-4}}\,dx$에서 $\displaystyle x=2\sec\theta$로 치환하면 $\displaystyle dx=2\sec\theta\tan\theta\,d\theta$이므로$\displaystyle \begin{aligned}\int\frac{4}{\sqrt{x^2-4}}\,dx&=\int\frac{4}{2\sqrt{\sec^2\theta-1}}\times2\sec\theta\tan\theta\,d\theta\\&=4\int\sec\theta\,d\theta\\&=4\int\frac{\sec\theta(\sec\theta+\tan\theta)}{\sec\theta+\tan\theta}\,d\theta\\&=4\ln|\sec\theta+\tan\theta|+C_1\end{aligned}$ (단, $\displaystyle C_1$은 적분 상수)$\displaystyle \phantom{\int\frac{4}{\sqrt{x^2-4}}\,dx}=4\ln\left|\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{x^2-4}}{2}\right|+C_1$이다. 그러므로$\displaystyle I=x\sqrt{x^2-4}-I-4\ln\left|x+\sqrt{x^2-4}\right|+C^{\prime}$ (단, $\displaystyle C^{\prime}$는 적분 상수)$\displaystyle \therefore I=\frac{1}{2}\left(x\sqrt{x^2-4}-4\ln\left|x+\sqrt{x^2-4}\right|\right)+C$ (단, $\displaystyle C$는 적분 상수)이다.

곡선 $\displaystyle C:3x^2-4y^2-6x+16y=25$ 위의 점 $\displaystyle (5,5)$에서의 접선의 방정식을 구하기 위해 $\displaystyle 3x^2-4y^2-6x+16y=25$에서 $\displaystyle y$를 $\displaystyle x$의 함수로 보고, 각 항을 $\displaystyle x$에 대하여 미분하면$\displaystyle 6x-8y\cdot y^{\prime}-6+16y^{\prime}=0\ (y\ne2)$이므로 점 $\displaystyle (5,5)$에서의 접선의 기울기는 위 식에 $\displaystyle x=5$, $\displaystyle y=5$를 대입하면$\displaystyle 30-40y^{\prime}-6+16y^{\prime}=0$이므로 $\displaystyle y^{\prime}=1$이다. 따라서 구하는 접선의 방정식은$\displaystyle l:y=x$이다.

그러므로 접선과 직선 $\displaystyle y=2$의 교점의 좌표는 $\displaystyle (2,2)$이다.$\displaystyle 3x^2-4y^2-6x+16y=25$를 변형하면$\displaystyle \frac{(x-1)^2}{4}-\frac{(y-2)^2}{3}=1$이므로 $\displaystyle y=\pm\sqrt{\frac{3}{4}(x-1)^2-3}+2$이다. 그러므로 그림의 색칠된 부분이 구하는 넓이와 같다.따라서

여기서 $\displaystyle \int_3^5\left\{\sqrt{\frac{3}{4}(x-1)^2-3}\right\}dx$의 값을 구하기 위해$\displaystyle x-1=t$로 놓으면 $\displaystyle \frac{dt}{dx}=1$$\displaystyle x=3$일 때 $\displaystyle t=2$, $\displaystyle x=5$일 때 $\displaystyle t=4$$\displaystyle \int_3^5\left\{\sqrt{\frac{3}{4}(x-1)^2-3}\right\}dx=\int_2^4\sqrt{\frac{3}{4}t^2-3}\,dt=\frac{\sqrt{3}}{2}\int_2^4\sqrt{t^2-4}\,dt$이다.

[1-1]의 결과를 이용하면$\displaystyle \begin{aligned}\int_2^4\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{t^2-4}\,dt&=\frac{\sqrt{3}}{4}\Biggl[t\sqrt{t^2-4}-4\ln\left|t+\sqrt{t^2-4}\right|\Biggr]_2^4\\&=\frac{\sqrt{3}}{4}\left\{8\sqrt{3}-4\ln\left(4+2\sqrt{3}\right)+4\ln2\right\}\\&=\sqrt{3}\left\{2\sqrt{3}-\ln\left(4+2\sqrt{3}\right)+\ln2\right\}\\&=\sqrt{3}\left\{2\sqrt{3}-\ln\left(2+\sqrt{3}\right)\right\}\end{aligned}$이다. 따라서$\displaystyle S=\frac{9}{2}-\sqrt{3}\left\{2\sqrt{3}-\ln\left(2+\sqrt{3}\right)\right\}=-\frac{3}{2}+\sqrt{3}\ln\left(2+\sqrt{3}\right)$이다.