의학계 3번

5번째까지 숫자 1, 2, 3, 4가 적힌 카드 중 세 장과 숫자 5, 6, 7, 8이 적힌 카드 중 두 장을 꺼내어 배열하고, 6번째에 숫자 1, 2, 3, 4가 적힌 카드 중 남은 숫자가 적힌 카드를 꺼내면

$\displaystyle \frac{{}_{4}\mathrm{C}_{3}\times{}_{4}\mathrm{C}_{2}\times5!}{{}_{8}\mathrm{P}_{5}}\times\frac13=\frac17$이다.

$\displaystyle 1\le N\le l$인 자연수 $\displaystyle N$에 대하여 $\displaystyle (k-1)\ (k=l,l+1,\cdots,2l)$번째까지 $\displaystyle N$을 제외한 $\displaystyle l$이하의 자연수가 적힌 카드를 꺼내고, $\displaystyle k$번째에서 $\displaystyle N$이 적힌 카드를 꺼낸다고 하면

$\displaystyle \begin{aligned}\mathrm{P}(X=k)&=\frac{{}_{l}\mathrm{C}_{l-1}\times{}_{l}\mathrm{C}_{k-l}\times(k-1)!}{{}_{2l}\mathrm{P}_{k-1}}\times\frac1{2l-k+1}\\&=\frac{l\times\frac{l!}{(k-l)!\cdot(2l-k)!}\times(k-1)!}{\frac{(2l)!}{(2l-k+1)!}}\times\frac1{2l-k+1}\\&=\frac{l\times(2l-l)!\times(k-1)!}{(2l)!\times(k-l)!}=\frac{l!\times(2l-l)!}{(2l)!}\times\frac{(k-1)!}{(k-l)!\cdot(l-1)!}\\&=\frac{{}_{k-1}\mathrm{C}_{l-1}}{{}_{2l}\mathrm{C}_{l}}\end{aligned}$

이다. 따라서 제시문 (나), (다)에 의해 구하는 평균 $\displaystyle \mathrm{E}(X)$의 값은$\displaystyle \begin{aligned}\sum_{k=l}^{2l}\left\{k\times\frac{{}_{k-1}\mathrm{C}_{l-1}}{{}_{2l}\mathrm{C}_{l}}\right\}&=\frac1{{}_{2l}\mathrm{C}_{l}}\sum_{k=l}^{2l}\left\{k\times\frac{(k-1)!}{(l-1)!\cdot(k-l)!}\right\}\\&=\frac{l}{{}_{2l}\mathrm{C}_{l}}\sum_{k=l}^{2l}\frac{k!}{l!\cdot(k-l)!}\\&=\frac{l}{{}_{2l}\mathrm{C}_{l}}\sum_{k=l}^{2l}{}_{k}\mathrm{C}_{l}=\frac{l}{{}_{2l}\mathrm{C}_{l}}({}_{l}\mathrm{C}_{l}+{}_{l+1}\mathrm{C}_{l}+\cdots+{}_{2l}\mathrm{C}_{l})\\&=\frac{l}{{}_{2l}\mathrm{C}_{l}}({}_{l+1}\mathrm{C}_{l+1}+{}_{l+1}\mathrm{C}_{l}+\cdots+{}_{2l}\mathrm{C}_{l})\\&=\frac{l}{{}_{2l}\mathrm{C}_{l}}\times{}_{2l+1}\mathrm{C}_{l+1}=\frac{l(2l+1)}{l+1}\end{aligned}$이다.