수리논술, 이게 다다.

의학계 3번

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부산대 2020학년도 수시 의학계 3번 · mathesis.kr/archive/pusan/2020su/uihak_3

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문제

[문항 3] 다음 제시문을 이용하여 아래 논제의 풀이 과정과 답을 논리적으로 서술하시오.

(가) 서로 다른 n\displaystyle n개에서 순서를 생각하지 않고 r(0≤r≤n)\displaystyle r ( 0 \leq r \leq n )개를 택하는 것을 n\displaystyle n개에서 r\displaystyle r개를 택하는 조합이라고 하며, 이 조합의 수는nCr=n!r!×(n−r)!\displaystyle {}_{n}\mathrm{C}_{r}=\frac{n!}{r!\times(n-r)!} (단, 0!=1\displaystyle 0!=1)이다.

(나) nCr=n−1Cr−1+n−1Cr\displaystyle {}_{n}\mathrm{C}_{r}={}_{n-1}\mathrm{C}_{r-1}+{}_{n-1}\mathrm{C}_{r} (단, 1≤r<n\displaystyle 1\le r<n)

(다) 확률변수 X\displaystyle X의 확률질량함수가P(X=xi)=pi (i=1,2,⋯ ,n)\displaystyle \mathrm{P}(X=x_i)=p_i\ (i=1,2,\cdots,n)일 때,x1p1+x2p2+⋯+xnpn=∑i=1nxipi\displaystyle x_{1} p_{1} + x_{2} p_{2} + \cdots + x_{n} p_{n} = \sum_{i = 1}^{n} {x_{i} p_{i}}를 확률변수 X\displaystyle X의 기댓값 또는 평균이라고 하며, 이것을 기호로 E(X)\displaystyle E ( X )와 같이 나타낸다.

※ 답은 nPr\displaystyle {}_{n}\mathrm{P}_{r}, nCr\displaystyle {}_{n}\mathrm{C}_{r}, n!\displaystyle n! 등의 기호를 사용하지 않고 간단한 식으로 나타내시오.

(예 : nC1nP2+2!\displaystyle \frac{{}_{n}\mathrm{C}_{1}}{{}_{n}\mathrm{P}_{2}+2!}은 nn2−n+2\displaystyle \frac{n}{n^2-n+2}으로 적는다.)

자연수 n\displaystyle n에 대하여 1\displaystyle 1부터 2n\displaystyle 2 n까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 2n\displaystyle 2 n장의 카드가 들어 있는 주머니에서 임의의 한 장의 카드를 꺼내어 적힌 수를 확인하는 시행을 반복한다. 꺼낸 카드는 다시 넣지 않으며, n\displaystyle n 이하의 자연수가 적힌 카드를 모두 꺼내면 이 시행을 멈추기로 한다. 시행을 멈출 때까지 시행한 횟수를 확률변수 X\displaystyle X라 하자. 확률질량함수 P(X=x)(x=n,n+1,⋯ ,2n)\displaystyle P ( X = x ) ( x = n , n + 1 , \cdots , 2 n )은 n\displaystyle n이하의 자연수가 적힌 카드를 모두 꺼내어 멈출 때까지 시행한 횟수가 x\displaystyle x일 확률이다.

[3-1] n=4\displaystyle n = 4일 때, 확률 P(X=6)\displaystyle \mathrm{P} ( X = 6 )을 구하시오. (10점)

[3-2] n=l\displaystyle n = l일 때, 평균 E(X)\displaystyle \mathrm{E} ( X )를 l\displaystyle l에 관한 식으로 나타내시오. (20점)

해설강의 준비중

부산대 2020학년도 수시 의학계 3번 · mathesis.kr/archive/pusan/2020su/uihak_3

[3-1]

+3점 · 4이하의 숫자가 적힌 카드를 뽑을 수 있는 경우를 나눌 수 있다.

5번째까지 숫자 1, 2, 3, 4가 적힌 카드 중 세 장과 숫자 5, 6, 7, 8이 적힌 카드 중 두 장을 꺼내어 배열하고, 6번째에 숫자 1, 2, 3, 4가 적힌 카드 중 남은 숫자가 적힌 카드를 꺼내면

+4점 · 식을 세울 수 있다.
+3점 · 확률의 값을 구할 수 있다.

4C3×4C2×5!8P5×13=17\displaystyle \frac{{}_{4}\mathrm{C}_{3}\times{}_{4}\mathrm{C}_{2}\times5!}{{}_{8}\mathrm{P}_{5}}\times\frac13=\frac17이다.

[3-2]

+2점 · (k−1)\displaystyle (k-1)번째까지 시행에서 l\displaystyle l이하의 자연수 중 (l−1)\displaystyle (l-1)개를 뽑는 경우를 나눌 수 있다.

1≤N≤l\displaystyle 1\le N\le l인 자연수 N\displaystyle N에 대하여 (k−1) (k=l,l+1,⋯ ,2l)\displaystyle (k-1)\ (k=l,l+1,\cdots,2l)번째까지 N\displaystyle N을 제외한 l\displaystyle l이하의 자연수가 적힌 카드를 꺼내고, k\displaystyle k번째에서 N\displaystyle N이 적힌 카드를 꺼낸다고 하면

+3점 · P(X=k)\displaystyle \mathrm{P}(X=k)의 확률을 k\displaystyle k와 l\displaystyle l에 관한 식으로 나타낼 수 있다.
+4점 · 확률을 구할 수 있다.

P(X=k)=lCl−1×lCk−l×(k−1)!2lPk−1×12l−k+1=l×l!(k−l)!⋅(2l−k)!×(k−1)!(2l)!(2l−k+1)!×12l−k+1=l×(2l−l)!×(k−1)!(2l)!×(k−l)!=l!×(2l−l)!(2l)!×(k−1)!(k−l)!⋅(l−1)!=k−1Cl−12lCl\displaystyle \begin{aligned}\mathrm{P}(X=k)&=\frac{{}_{l}\mathrm{C}_{l-1}\times{}_{l}\mathrm{C}_{k-l}\times(k-1)!}{{}_{2l}\mathrm{P}_{k-1}}\times\frac1{2l-k+1}\\&=\frac{l\times\frac{l!}{(k-l)!\cdot(2l-k)!}\times(k-1)!}{\frac{(2l)!}{(2l-k+1)!}}\times\frac1{2l-k+1}\\&=\frac{l\times(2l-l)!\times(k-1)!}{(2l)!\times(k-l)!}=\frac{l!\times(2l-l)!}{(2l)!}\times\frac{(k-1)!}{(k-l)!\cdot(l-1)!}\\&=\frac{{}_{k-1}\mathrm{C}_{l-1}}{{}_{2l}\mathrm{C}_{l}}\end{aligned}

+3점 · 평균 E(X)\displaystyle \mathrm{E}(X)의 식을 나타낼 수 있다.
+6점 · 제시문 (나)를 이용하여 식을 변형할 수 있다.
+2점 · 값을 구할 수 있다.

이다. 따라서 제시문 (나), (다)에 의해 구하는 평균 E(X)\displaystyle \mathrm{E}(X)의 값은∑k=l2l{k×k−1Cl−12lCl}=12lCl∑k=l2l{k×(k−1)!(l−1)!⋅(k−l)!}=l2lCl∑k=l2lk!l!⋅(k−l)!=l2lCl∑k=l2lkCl=l2lCl(lCl+l+1Cl+⋯+2lCl)=l2lCl(l+1Cl+1+l+1Cl+⋯+2lCl)=l2lCl×2l+1Cl+1=l(2l+1)l+1\displaystyle \begin{aligned}\sum_{k=l}^{2l}\left\{k\times\frac{{}_{k-1}\mathrm{C}_{l-1}}{{}_{2l}\mathrm{C}_{l}}\right\}&=\frac1{{}_{2l}\mathrm{C}_{l}}\sum_{k=l}^{2l}\left\{k\times\frac{(k-1)!}{(l-1)!\cdot(k-l)!}\right\}\\&=\frac{l}{{}_{2l}\mathrm{C}_{l}}\sum_{k=l}^{2l}\frac{k!}{l!\cdot(k-l)!}\\&=\frac{l}{{}_{2l}\mathrm{C}_{l}}\sum_{k=l}^{2l}{}_{k}\mathrm{C}_{l}=\frac{l}{{}_{2l}\mathrm{C}_{l}}({}_{l}\mathrm{C}_{l}+{}_{l+1}\mathrm{C}_{l}+\cdots+{}_{2l}\mathrm{C}_{l})\\&=\frac{l}{{}_{2l}\mathrm{C}_{l}}({}_{l+1}\mathrm{C}_{l+1}+{}_{l+1}\mathrm{C}_{l}+\cdots+{}_{2l}\mathrm{C}_{l})\\&=\frac{l}{{}_{2l}\mathrm{C}_{l}}\times{}_{2l+1}\mathrm{C}_{l+1}=\frac{l(2l+1)}{l+1}\end{aligned}이다.

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