수리논술, 이게 다다.

자연계열 2번

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부산대 2020학년도 수시 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/pusan/2020su/jayeon_2

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[문항 2] 다음 제시문을 이용하여 아래 논제의 풀이 과정과 답을 논리적으로 서술하시오.

(가) 함수 y=f(x)\displaystyle y = f ( x )가 x=a\displaystyle x = a에서 미분가능할 때, x=a\displaystyle x = a에서의 미분계수 f′(a)\displaystyle f^{\prime} ( a )는 곡선 y=f(x)\displaystyle y = f ( x )위의 점 (a,f(a))\displaystyle ( a , f ( a ) )에서의 접선의 기울기와 같다.

(나) x\displaystyle x의 함수 y\displaystyle y가 음함수 f(x,y)=0\displaystyle f ( x , y ) = 0의 꼴로 주어져 있을 때에는 y\displaystyle y를 x\displaystyle x의 함수로 보고 각 항을 x\displaystyle x에 대하여 미분한 후에 dydx\displaystyle \frac{{d y}}{d x}를 구한다.

좌표평면에서 곡선 C:x2+y2=4(x≥0,y≥0)\displaystyle C : x^{2} + y^{2} = 4 ( x \geq 0 , y \geq 0 )와 두 점 A(4,0),B(0,4)\displaystyle {\mathrm{A}} ( 4 , 0 ) , {\mathrm{B}} ( 0 , 4 )가 있다. 곡선 C\displaystyle C위의 점 T\displaystyle {\mathrm{T}}에 대하여 ∠TOA=θ\displaystyle \angle \mathrm{T} \mathrm{OA} = \theta라 하자. (단, O\displaystyle {\mathrm{O}}는 원점이다.)

0≤θ<a\displaystyle 0 \leq \theta < a인 모든 실수 θ\displaystyle \theta에 대하여 PT‾=PA‾\displaystyle \overline{{\mathrm{PT}}} = \overline{{\mathrm{PA}}}를 만족하는 반직선 OT\displaystyle {\mathrm{OT}}위의 점 P\displaystyle {\mathrm{P}}가 존재하고, b<θ≤π2\displaystyle b < \theta \leq \frac{{\pi}}{2}인 모든 실수 θ\displaystyle \theta에 대하여 QT‾=QB‾\displaystyle \overline{{\mathrm{QT}}} = \overline{{\mathrm{QB}}}를 만족하는 반직선 OT\displaystyle {\mathrm{OT}}위의 점 Q\displaystyle {\mathrm{Q}}가 존재한다. 두 점 P\displaystyle {\mathrm{P}}와 Q\displaystyle {\mathrm{Q}}가 나타내는 곡선을 각각 C1,C2\displaystyle C_{1} , C_{2}라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

[2-1] a\displaystyle a의 최댓값과 b\displaystyle b의 최솟값을 구하시오. (15점)

[2-2] 두 곡선 C1,C2\displaystyle C_{1} , C_{2}가 만나는 점을 R\displaystyle {\mathrm{R}}라 하자. 점 R\displaystyle {\mathrm{R}}에서 곡선 C1\displaystyle C_{1}의 접선과 곡선 C2\displaystyle C_{2}의 접선이 이루는 예각의 크기를 α\displaystyle \alpha라 할 때, tan⁡α\displaystyle {\tan} \alpha의 값을 구하시오. (20점)

해설강의 준비중

부산대 2020학년도 수시 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/pusan/2020su/jayeon_2

[2-1]

+1점 · OP‾−PA‾=OT‾=2\displaystyle \overline{\mathrm{OP}} - \overline{\mathrm{PA}} = \overline{\mathrm{OT}} = 2, OQ‾−QB‾=OT‾=2\displaystyle \overline{\mathrm{OQ}} - \overline{\mathrm{QB}} = \overline{\mathrm{OT}} = 2를 구할 수 있다.
+6점 · 곡선 C1\displaystyle C_1의 방정식 (x−2)2−y23=1 (x≥2,y≥0)\displaystyle (x-2)^2-\frac{y^2}3=1\ (x\ge2,y\ge0)을 구할 수 있다. 곡선 C2\displaystyle C_2의 방정식은 x23−(y−2)2=−1 (x≥0,y≥2)\displaystyle \frac{x^2}3-(y-2)^2=-1\ (x\ge0,y\ge2)을 구할 수 있다.

OP‾−PA‾=OT‾=2\displaystyle \overline{{\mathrm{OP}}} - \overline{{\mathrm{PA}}} = \overline{{\mathrm{OT}}} = 2(일정)이므로 점 P\displaystyle {\mathrm{P}}가 나타내는 곡선 C1\displaystyle C_{1}은 두 점 O,A\displaystyle {\mathrm{O}} , {\mathrm{A}}가 초점이고 거리의 차가 2\displaystyle 2인 쌍곡선의 일부분이다.따라서 곡선 C1\displaystyle C_{1}의 방정식은 (x−2)2−y23=1(x≥2,y≥0)\displaystyle ( x - 2 )^{2} - \frac{{y^{2}}}{3} = 1 ( x \geq 2 , y \geq 0 )이다.

+4점 · 곡선 C1\displaystyle C_{1}의 점근선의 방정식 y=3(x−2)\displaystyle y = \sqrt{3} ( x - 2 )을 구할 수 있다. 곡선 C2\displaystyle C_{2}의 점근선의 방정식 y=33x+2\displaystyle y = \frac{\sqrt{3}}{3} x + 2을 구할 수 있다.

이때 점근선의 방정식은 y=3(x−2)\displaystyle y = \sqrt{3} ( x - 2 )이고, 곡선 C1\displaystyle C_{1}을 좌표평면에 나타내면 다음과 같다.

쌍곡선 C1과 점근선 및 원 C
+4점 · 곡선 C1\displaystyle C_{1}의 점근선의 기울기를 이용하여 0≤θ<π3\displaystyle 0 \le \theta < \frac{\pi}{3}임을 찾고, a\displaystyle a의 최댓값 π3\displaystyle \frac{\pi}{3}을 구할 수 있다. 곡선 C2\displaystyle C_{2}의 점근선의 기울기를 이용하여 π6<θ≤π2\displaystyle \frac{\pi}{6} < \theta \le \frac{\pi}{2}임을 찾고, b\displaystyle b의 최솟값 π6\displaystyle \frac{\pi}{6}을 구할 수 있다.

직선 OP\displaystyle {\mathrm{OP}}의 기울기는 3\displaystyle \sqrt{3}보다 작고, tan⁡π3=3\displaystyle {\tan} \frac{{\pi}}{3} = \sqrt{3}이므로 0≤θ<π3\displaystyle 0 \leq \theta < \frac{{\pi}}{3}이다.따라서 a\displaystyle a의 최댓값은 π3\displaystyle \frac{{\pi}}{3}이다.

OQ‾−QB‾=OT‾=2\displaystyle \overline{{\mathrm{OQ}}} - \overline{{\mathrm{QB}}} = \overline{{\mathrm{OT}}} = 2(일정)이므로 점 Q\displaystyle {\mathrm{Q}}가 나타내는 곡선 C2\displaystyle C_{2}는 두 점 O,B\displaystyle {\mathrm{O}} , {\mathrm{B}}가 초점이고, 거리의 차가 2\displaystyle 2인 쌍곡선의 일부분이다.따라서 곡선 C2\displaystyle C_{2}의 방정식은 x23−(y−2)2=−1(x≥0,y≥2)\displaystyle \frac{{x^{2}}}{3} - ( y - 2 )^{2} = - 1 ( x \geq 0 , y \geq 2 )이다.

이때 점근선의 방정식은 y=33x+2\displaystyle y = \frac{{\sqrt{3}}}{3} x + 2이고, 곡선 C2\displaystyle C_{2}를 좌표평면에 나타내면 다음과 같다.

쌍곡선 C2와 점근선 및 원 C

직선 OQ\displaystyle {\mathrm{OQ}}의 기울기는 33\displaystyle \frac{{\sqrt{3}}}{3}보다 크고, tan⁡π6=33\displaystyle {\tan} \frac{{\pi}}{6} = \frac{{\sqrt{3}}}{3}이므로 π6<θ≤π2\displaystyle \frac{{\pi}}{6} < \theta \leq \frac{{\pi}}{2}이다.따라서 b\displaystyle b의 최솟값은 π6\displaystyle \frac{{\pi}}{6}이다.

[2-2]

+5점 · 교점 R\displaystyle \mathrm{R}의 좌표를 구할 수 있다.

두 곡선 C1,C2\displaystyle C_{1} , C_{2}는 직선 y=x\displaystyle y = x에 대하여 대칭이므로두 곡선 C1,C2\displaystyle C_1,C_2의 교점 R\displaystyle \mathrm{R}은 곡선 C1:(x−2)2−y23=1\displaystyle C_1:(x-2)^2-\frac{y^2}3=1과 직선 y=x\displaystyle y=x의 교점과 같다. 따라서(x−2)2−x23=1, 2x2−12x+9=0\displaystyle (x-2)^2-\frac{x^2}3=1,\ 2x^2-12x+9=0x=3+322\displaystyle x=3+\frac32\sqrt2

+5점 · 곡선 C1\displaystyle C_{1} 위의 점 R\displaystyle \mathrm{R} 에서의 접선의 기울기를 구할 수 있다.

이므로 R(3+322,3+322)\displaystyle {\mathrm{R}} \left( 3 + \frac{{3}}{2} \sqrt{2} , 3 + \frac{{3}}{2} \sqrt{2} \right)이다. 또한, C1:(x−2)2−y23=1\displaystyle C_{1} : ( x - 2 )^{2} - \frac{{y^{2}}}{3} = 1를 x\displaystyle x에 대하여 미분하면2(x−2)−23y×dydx=0\displaystyle 2(x-2)-\frac23y\times\frac{dy}{dx}=0이므로 dydx=3(x−2)y\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{3(x-2)}y이다. 따라서 곡선 C1\displaystyle C_1 위의 점 R\displaystyle \mathrm{R}에서의 접선의 기울기는3(1+322)3+322=22−1\displaystyle \frac{3\left(1+\frac32\sqrt2\right)}{3+\frac32\sqrt2}=2\sqrt2-1이다.

+5점 · 곡선 C2\displaystyle C_{2} 위의 점 R\displaystyle \mathrm{R} 에서의 접선의 기울기를 구할 수 있다.

한편 곡선 C1\displaystyle C_{1}위의 점 R\displaystyle {\mathrm{R}}에서의 접선이 x\displaystyle x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 α1\displaystyle \alpha_{1},곡선 C2\displaystyle C_{2}위의 점 R\displaystyle {\mathrm{R}}에서의 접선이 x\displaystyle x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 α2\displaystyle \alpha_{2}라 하면 α=∣α1−α2∣\displaystyle \alpha = \left| \alpha_{1} - \alpha_{2} \right|와 같다.곡선 C1\displaystyle C_{1}위의 점 R\displaystyle {\mathrm{R}}에서의 접선과 곡선 C2\displaystyle C_{2}위의 점 R\displaystyle {\mathrm{R}}에서의 접선은 직선 y=x\displaystyle y = x에 대하여 대칭이므로 α1+α2=π2\displaystyle \alpha_{1} + \alpha_{2} = \frac{{\pi}}{2}이다. 따라서tan⁡α1=22−1\displaystyle {\tan} \alpha_{1} = 2 \sqrt{2} - 1이고, tan⁡α2=tan⁡(π2−α1)=cot⁡α1=122−1=22+17\displaystyle {\tan} \alpha_{2} = {\tan} \left( \frac{{\pi}}{2} - \alpha_{1} \right) = {\cot} \alpha_{1} = \frac{{1}}{2 \sqrt{2} - 1} = \frac{{2 \sqrt{2} + 1}}{7}

+5점 · 두 접선이 이루는 예각을 구할 수 있다.

이므로 tan⁡α=tan⁡∣α1−α2∣=22−1−22+171+1=62−47\displaystyle {\tan} \alpha = {\tan} \left| \alpha_{1} - \alpha_{2} \right| = \frac{{2 \sqrt{2} - 1 - \frac{{2 \sqrt{2} + 1}}{7}}}{1 + 1} = \frac{{6 \sqrt{2} - 4}}{7}이다.

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