자연계열 2번

$\displaystyle \overline{{\mathrm{OP}}} - \overline{{\mathrm{PA}}} = \overline{{\mathrm{OT}}} = 2$(일정)이므로 점 $\displaystyle {\mathrm{P}}$가 나타내는 곡선 $\displaystyle C_{1}$은 두 점 $\displaystyle {\mathrm{O}} , {\mathrm{A}}$가 초점이고 거리의 차가 $\displaystyle 2$인 쌍곡선의 일부분이다.따라서 곡선 $\displaystyle C_{1}$의 방정식은 $\displaystyle ( x - 2 )^{2} - \frac{{y^{2}}}{3} = 1 ( x \geq 2 , y \geq 0 )$이다.

이때 점근선의 방정식은 $\displaystyle y = \sqrt{3} ( x - 2 )$이고, 곡선 $\displaystyle C_{1}$을 좌표평면에 나타내면 다음과 같다.

직선 $\displaystyle {\mathrm{OP}}$의 기울기는 $\displaystyle \sqrt{3}$보다 작고, $\displaystyle {\tan} \frac{{\pi}}{3} = \sqrt{3}$이므로 $\displaystyle 0 \leq \theta < \frac{{\pi}}{3}$이다.따라서 $\displaystyle a$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{{\pi}}{3}$이다.

두 곡선 $\displaystyle C_{1} , C_{2}$는 직선 $\displaystyle y = x$에 대하여 대칭이므로두 곡선 $\displaystyle C_1,C_2$의 교점 $\displaystyle \mathrm{R}$은 곡선 $\displaystyle C_1:(x-2)^2-\frac{y^2}3=1$과 직선 $\displaystyle y=x$의 교점과 같다. 따라서$\displaystyle (x-2)^2-\frac{x^2}3=1,\ 2x^2-12x+9=0$$\displaystyle x=3+\frac32\sqrt2$

이므로 $\displaystyle {\mathrm{R}} \left( 3 + \frac{{3}}{2} \sqrt{2} , 3 + \frac{{3}}{2} \sqrt{2} \right)$이다. 또한, $\displaystyle C_{1} : ( x - 2 )^{2} - \frac{{y^{2}}}{3} = 1$를 $\displaystyle x$에 대하여 미분하면$\displaystyle 2(x-2)-\frac23y\times\frac{dy}{dx}=0$이므로 $\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{3(x-2)}y$이다. 따라서 곡선 $\displaystyle C_1$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm{R}$에서의 접선의 기울기는$\displaystyle \frac{3\left(1+\frac32\sqrt2\right)}{3+\frac32\sqrt2}=2\sqrt2-1$이다.

한편 곡선 $\displaystyle C_{1}$위의 점 $\displaystyle {\mathrm{R}}$에서의 접선이 $\displaystyle x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 $\displaystyle \alpha_{1}$,곡선 $\displaystyle C_{2}$위의 점 $\displaystyle {\mathrm{R}}$에서의 접선이 $\displaystyle x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 $\displaystyle \alpha_{2}$라 하면 $\displaystyle \alpha = \left| \alpha_{1} - \alpha_{2} \right|$와 같다.곡선 $\displaystyle C_{1}$위의 점 $\displaystyle {\mathrm{R}}$에서의 접선과 곡선 $\displaystyle C_{2}$위의 점 $\displaystyle {\mathrm{R}}$에서의 접선은 직선 $\displaystyle y = x$에 대하여 대칭이므로 $\displaystyle \alpha_{1} + \alpha_{2} = \frac{{\pi}}{2}$이다. 따라서$\displaystyle {\tan} \alpha_{1} = 2 \sqrt{2} - 1$이고, $\displaystyle {\tan} \alpha_{2} = {\tan} \left( \frac{{\pi}}{2} - \alpha_{1} \right) = {\cot} \alpha_{1} = \frac{{1}}{2 \sqrt{2} - 1} = \frac{{2 \sqrt{2} + 1}}{7}$

이므로 $\displaystyle {\tan} \alpha = {\tan} \left| \alpha_{1} - \alpha_{2} \right| = \frac{{2 \sqrt{2} - 1 - \frac{{2 \sqrt{2} + 1}}{7}}}{1 + 1} = \frac{{6 \sqrt{2} - 4}}{7}$이다.