의학계 2번

점 $\displaystyle \mathrm{T}$에 대하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{PO}} - \overline{\mathrm{PA}} = ( \overline{\mathrm{PT}} + \overline{\mathrm{OT}} ) - \overline{\mathrm{PA}} = \overline{\mathrm{OT}} = 2$(일정)이므로 점 $\displaystyle \mathrm{P}$는 두 점 $\displaystyle \mathrm{O}$, $\displaystyle \mathrm{A}$를 초점으로 하고 거리의 차가 $\displaystyle 2$인 쌍곡선 $\displaystyle ( x - 2 )^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ $\displaystyle \left( x > 2 \right)$위의 점이다.

점 $\displaystyle \mathrm{Q}$는 점 $\displaystyle \mathrm{P}$를 직선 $\displaystyle y = x$에 대칭이동 시킨 곳에 생기므로$\displaystyle \frac{\pi}{6} < \theta_{2} < \frac{5}{6} \pi$일 때 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$가 존재한다.$\displaystyle \cdots$㉡

그러므로 점 $\displaystyle \mathrm{T}$에 의해서 두 점 $\displaystyle \mathrm{P}$, $\displaystyle \mathrm{Q}$가 동시에 존재하는 $\displaystyle \theta = \angle \mathrm{AOT}$의 범위는㉠, ㉡에 의해서 $\displaystyle \frac{\pi}{6} < \theta < \frac{\pi}{3}$이다.

$\displaystyle x > 2$에서 직선 $\displaystyle y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$와 $\displaystyle ( x - 2 )^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$이 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm{P}_{1}$이라 할 때,$\displaystyle \overline{\mathrm{OP}} > a$인 $\displaystyle a$의 최댓값은 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}}_{1}$와 같다. $\displaystyle \cdots$(※)

$\displaystyle \overline{\mathrm{OP}}_{1} = t$에 대하여 쌍곡선의 정의에 의해서 $\displaystyle \overline{\mathrm{P}_{1} \mathrm{A}} = t - 2$이고$\displaystyle | \overrightarrow{\mathrm{P}_{1} \mathrm{A}} |^{2} = | \overrightarrow{\mathrm{OA}} - \overrightarrow{\mathrm{OP}_{1}} |^{2}$$\displaystyle ( t - 2 )^{2} = 16 + t^{2} - 2 \times 4 \times t \times \cos \frac{\pi}{6}$$\displaystyle t = \frac{3}{2} ( \sqrt{3} + 1 )$따라서 $\displaystyle a$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{3}{2} ( \sqrt{3} + 1 )$이다.

곡선 $\displaystyle y = f ( x )$는 쌍곡선의 일부분이고, 점근선의 기울기가 $\displaystyle \tan \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$이므로$\displaystyle f^{\prime} ( x ) < \frac{\sqrt{3}}{3}\cdots$㉠(또는, 함수 $\displaystyle f ( x ) = \left( \frac{x^{2}}{3} + 1 \right)^{\frac{1}{2}} + 2$에 대하여 $\displaystyle f^{\prime} ( x ) = \left( 3 + \frac{9}{x^{2}} \right)^{- \frac{1}{2}}$이므로 $\displaystyle f^{\prime} ( x ) < \frac{\sqrt{3}}{3}$이다.)

$\displaystyle f ( g ( k ) ) = - g ( k ) + k$로부터 $\displaystyle f^{\prime} ( g ( k ) ) \times g^{\prime} ( k ) = - g^{\prime} ( k ) + 1$이고, 이를 정리하면$\displaystyle g^{\prime} ( k ) \times \left\{ f^{\prime} ( g ( k ) ) + 1 \right\} = 1$이므로 ㉠에 의해서 $\displaystyle g^{\prime} ( k ) > \frac{{3 - \sqrt{3}}}{2}$이다.그러므로 $\displaystyle b$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{{3 - \sqrt{3}}}{2}$이다.

$\displaystyle h(k)=2\times\frac{\sqrt2}2|f(g(k))-g(k)|=\sqrt2|f(g(k))-g(k)|=\sqrt2|k-2g(k)|$와 같고

1) $\displaystyle k > \alpha$일 때 $\displaystyle h^{\prime} ( k ) > 0$이고, $\displaystyle h^{\prime \prime} ( k ) < 0$이므로 $\displaystyle \lim_{k \to \alpha +} \frac{{h ( k ) - h ( \alpha )}}{k-\alpha} > 0$

2) $\displaystyle k < \alpha$일 때 $\displaystyle h^{\prime} ( k ) < 0$이고, $\displaystyle h^{\prime \prime} ( k ) > 0$이므로 $\displaystyle \lim_{k \to \alpha -} \frac{{h ( k ) - h ( \alpha )}}{k-\alpha} \le 0$

이다. 따라서 $\displaystyle \lim_{k \to \alpha -} \frac{{h ( k ) - h ( \alpha )}}{k-\alpha} \ne \lim_{k \to \alpha +} \frac{{h ( k ) - h ( \alpha )}}{k - \alpha}$이므로 함수 $\displaystyle h ( k )$는 $\displaystyle k = \alpha$에서 미분가능하지 않다.