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의학계 2번

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부산대 2020학년도 수시 의학계 2번 · mathesis.kr/archive/pusan/2020su/uihak_2

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[문항 2] 다음 제시문을 이용하여 아래 논제의 풀이 과정과 답을 논리적으로 서술하시오.

(가) 평면 위의 서로 다른 두 직선의 방향벡터를 a→\displaystyle \overrightarrow{a}, b→\displaystyle \overrightarrow{b}라 할 때

1) 두 직선이 만나기 위한 필요충분조건은 a→≠kb→\displaystyle \overrightarrow{a} \ne k \overrightarrow{b}이다. (단, k\displaystyle k는 실수)

2) 두 직선이 수직으로 만나기 위한 필요충분조건은 a→∙b→=0\displaystyle \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} = 0이다.

(나) 두 벡터 a→\displaystyle \overrightarrow{a}, b→\displaystyle \overrightarrow{b}에 대하여 ∣a→−b→∣2=∣a→∣2+∣b→∣2−2a→∙b→\displaystyle | \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} |^{2} = | \overrightarrow{a} |^{2} + | \overrightarrow{b} |^{2} - 2 \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b}가 성립한다.

(다) 함수 y=f(x)\displaystyle y = f ( x )의 x=a\displaystyle x = a에서의 미분계수는f′(a)=lim⁡x→af(x)−f(a)x−a\displaystyle f^{\prime} ( a ) = \lim_{x \to a} \frac{{f ( x ) - f ( a )}}{x-a}이고, 함수 f(x)\displaystyle f ( x )에 대하여 x=a\displaystyle x = a에서의 미분계수 f′(a)\displaystyle f^{\prime} ( a )가 존재할 때, 함수 f(x)\displaystyle f ( x )는 x=a\displaystyle x = a에서 미분가능하다고 한다.

(라) 함수 y=f(x)\displaystyle y = f ( x )에 대하여 열린 구간 (a,b)\displaystyle \left( a , b \right)에서 f′(x)\displaystyle f^{\prime} ( x ), f′′(x)\displaystyle f^{\prime \prime} ( x )가 존재할 때

1) 열린 구간 (a,b)\displaystyle \left( a , b \right)에서 f′′(x)>0\displaystyle f^{\prime \prime} ( x ) > 0이면이 구간에서 y=f(x)\displaystyle y = f ( x )의 그래프는 아래로 볼록하고 f′(x)\displaystyle f^{\prime} ( x )는 증가한다.

2) 열린 구간 (a,b)\displaystyle \left( a , b \right)에서 f′′(x)<0\displaystyle f^{\prime \prime} ( x ) < 0이면이 구간에서 y=f(x)\displaystyle y = f ( x )의 그래프는 위로 볼록하고 f′(x)\displaystyle f^{\prime} ( x )는 감소한다.

원 C:x2+y2=4\displaystyle C : x^{2} + y^{2} = 4와 두 점 A(4,0)\displaystyle \mathrm{A} ( 4 , 0 ), B(0,4)\displaystyle \mathrm{B} ( 0 , 4 )가 있다. 원 C\displaystyle C 위의 어떤 점 T\displaystyle \mathrm{T}에 대하여 반직선 OT\displaystyle \mathrm{OT} 위에 다음 조건을 만족하는 두 점 P\displaystyle \mathrm{P}, Q\displaystyle \mathrm{Q}가 모두 존재한다.PT‾=PA‾\displaystyle \overline{\mathrm{PT}} = \overline{\mathrm{PA}}, QT‾=QB‾\displaystyle \overline{\mathrm{QT}} = \overline{\mathrm{QB}}이를 만족하는 모든 점 T\displaystyle \mathrm{T}에 대하여 두 점 P\displaystyle \mathrm{P}, Q\displaystyle \mathrm{Q}가 나타내는 곡선을 각각 C1\displaystyle C_{1}, C2\displaystyle C_{2}라 하자.

다음 물음에 답하시오. (단, O\displaystyle \mathrm{O}는 원점이다.)

[2-1] 곡선 C1\displaystyle C_{1} 위의 모든 점 P\displaystyle \mathrm{P}에 대하여 OP‾>a\displaystyle \overline{\mathrm{OP}} > a를 만족하는 상수 a\displaystyle a의 최댓값을 구하시오. (15점)

[2-2] 곡선 C2\displaystyle C_{2} 위의 임의의 점을 (x,f(x))\displaystyle \left( x , f ( x ) \right)라 하고, 실수 k\displaystyle k에 대하여 직선 y=−x+k\displaystyle y = - x + k와 곡선 C2\displaystyle C_{2}의 교점의 x\displaystyle x좌표를 g(k)\displaystyle g ( k )라 하면 다음이 성립한다.f(g(k))=−g(k)+k\displaystyle f ( g ( k ) ) = - g ( k ) + k이를 이용하여 g′(k)>b\displaystyle g^{\prime} ( k ) > b를 만족하는 상수 b\displaystyle b의 최댓값을 구하시오. (10점)

[2-3] 직선 y=−x+k\displaystyle y = - x + k와 두 곡선 C1\displaystyle C_{1}, C2\displaystyle C_{2}의 교점을 각각 T1\displaystyle \mathrm{T}_{1}, T2\displaystyle \mathrm{T}_{2}라 할 때, 선분 T1T2\displaystyle \mathrm{T}_{1} \mathrm{T}_{2}의 길이를 h(k)\displaystyle h ( k )라 하고, 방정식 h(k)=0\displaystyle h ( k ) = 0의 유일한 해를 α\displaystyle \alpha라 하자. [2-2]를 이용하여 함수 h(k)\displaystyle h ( k )를 k\displaystyle k와 g(k)\displaystyle g ( k )로 나타내고, 함수 h(k)\displaystyle h ( k )의 k=α\displaystyle k = \alpha에서의 미분가능성을 조사하시오. (15점)

해설강의 준비중

부산대 2020학년도 수시 의학계 2번 · mathesis.kr/archive/pusan/2020su/uihak_2

[2-1]

+2점 · PT‾=PA‾\displaystyle \overline{\mathrm{PT}} = \overline{\mathrm{PA}}를 만족하는 점 P\displaystyle \mathrm{P}가 존재하는 도형(범위)를 바르게 구한다.

점 T\displaystyle \mathrm{T}에 대하여 PO‾−PA‾=(PT‾+OT‾)−PA‾=OT‾=2\displaystyle \overline{\mathrm{PO}} - \overline{\mathrm{PA}} = ( \overline{\mathrm{PT}} + \overline{\mathrm{OT}} ) - \overline{\mathrm{PA}} = \overline{\mathrm{OT}} = 2(일정)이므로 점 P\displaystyle \mathrm{P}는 두 점 O\displaystyle \mathrm{O}, A\displaystyle \mathrm{A}를 초점으로 하고 거리의 차가 2\displaystyle 2인 쌍곡선 (x−2)2−y23=1\displaystyle ( x - 2 )^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1 (x>2)\displaystyle \left( x > 2 \right)위의 점이다.

이 곡선의 점근선의 방정식이 y=±3(x−2)\displaystyle y = \pm \sqrt{3} ( x - 2 )이므로반직선 OT→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OT}}위의 점 P\displaystyle \mathrm{P}에 대하여 직선 OP\displaystyle \mathrm{OP}의 기울기는 −3\displaystyle - \sqrt{3}보다 크고 3\displaystyle \sqrt{3}보다 작아야 한다.tan⁡π3=3\displaystyle \tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}이므로 동경 OP\displaystyle \mathrm{OP}가 나타내는 각의 크기 θ1\displaystyle \theta_{1}에 대하여−π3<θ1<π3\displaystyle - \frac{\pi}{3} < \theta_{1} < \frac{\pi}{3}일 때 점 P\displaystyle \mathrm{P}가 존재한다.⋯\displaystyle \cdots㉠

+2점 · QT‾=QB‾\displaystyle \overline{\mathrm{QT}} = \overline{\mathrm{QB}}를 만족하는 점 Q\displaystyle \mathrm{Q}가 존재하는 도형(범위)를 바르게 구한다.

점 Q\displaystyle \mathrm{Q}는 점 P\displaystyle \mathrm{P}를 직선 y=x\displaystyle y = x에 대칭이동 시킨 곳에 생기므로π6<θ2<56π\displaystyle \frac{\pi}{6} < \theta_{2} < \frac{5}{6} \pi일 때 점 Q\displaystyle \mathrm{Q}가 존재한다.⋯\displaystyle \cdots㉡

+4점 · 두 점 P\displaystyle \mathrm{P}, Q\displaystyle \mathrm{Q}가 모두 존재하는 각 ∠AOT\displaystyle \angle \mathrm{AOT}의 범위를 찾는 과정을 바르게 서술한다.

그러므로 점 T\displaystyle \mathrm{T}에 의해서 두 점 P\displaystyle \mathrm{P}, Q\displaystyle \mathrm{Q}가 동시에 존재하는 θ=∠AOT\displaystyle \theta = \angle \mathrm{AOT}의 범위는㉠, ㉡에 의해서 π6<θ<π3\displaystyle \frac{\pi}{6} < \theta < \frac{\pi}{3}이다.

두 점 P Q가 모두 존재하는 각과 쌍곡선의 범위

따라서 C1={(x,y)∣(x−2)2−y23=1, y>33x, x>2}\displaystyle C_1=\left\{(x,y)\mid(x-2)^2-\frac{y^2}3=1,\ y>\frac{\sqrt3}3x,\ x>2\right\}

+3점 · OP‾>a\displaystyle \overline{\mathrm{OP}} > \mathrm{a}를 만족하는 a\displaystyle a의 최댓값을 찾기 위한 점의 위치를 바르게 서술한다.

x>2\displaystyle x > 2에서 직선 y=33x\displaystyle y = \frac{\sqrt{3}}{3} x와 (x−2)2−y23=1\displaystyle ( x - 2 )^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1이 만나는 점을 P1\displaystyle \mathrm{P}_{1}이라 할 때,OP‾>a\displaystyle \overline{\mathrm{OP}} > a인 a\displaystyle a의 최댓값은 OP‾1\displaystyle \overline{\mathrm{OP}}_{1}와 같다. ⋯\displaystyle \cdots(※)

+4점 · a\displaystyle a의 최댓값을 바르게 구한다.

OP‾1=t\displaystyle \overline{\mathrm{OP}}_{1} = t에 대하여 쌍곡선의 정의에 의해서 P1A‾=t−2\displaystyle \overline{\mathrm{P}_{1} \mathrm{A}} = t - 2이고∣P1A→∣2=∣OA→−OP1→∣2\displaystyle | \overrightarrow{\mathrm{P}_{1} \mathrm{A}} |^{2} = | \overrightarrow{\mathrm{OA}} - \overrightarrow{\mathrm{OP}_{1}} |^{2}(t−2)2=16+t2−2×4×t×cos⁡π6\displaystyle ( t - 2 )^{2} = 16 + t^{2} - 2 \times 4 \times t \times \cos \frac{\pi}{6}t=32(3+1)\displaystyle t = \frac{3}{2} ( \sqrt{3} + 1 )따라서 a\displaystyle a의 최댓값은 32(3+1)\displaystyle \frac{3}{2} ( \sqrt{3} + 1 )이다.

[2-2]

+5점 · f′(x)<33\displaystyle f^{\prime} ( x ) < \frac{\sqrt{3}}{3}임을 바르게 구한다.

곡선 y=f(x)\displaystyle y = f ( x )는 쌍곡선의 일부분이고, 점근선의 기울기가 tan⁡π6=33\displaystyle \tan \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}이므로f′(x)<33⋯\displaystyle f^{\prime} ( x ) < \frac{\sqrt{3}}{3}\cdots㉠(또는, 함수 f(x)=(x23+1)12+2\displaystyle f ( x ) = \left( \frac{x^{2}}{3} + 1 \right)^{\frac{1}{2}} + 2에 대하여 f′(x)=(3+9x2)−12\displaystyle f^{\prime} ( x ) = \left( 3 + \frac{9}{x^{2}} \right)^{- \frac{1}{2}}이므로 f′(x)<33\displaystyle f^{\prime} ( x ) < \frac{\sqrt{3}}{3}이다.)

+5점 · f(g(k))=−g(k)+k\displaystyle f ( g ( k ) ) = - g ( k ) + k의 양변을 미분하여 b\displaystyle b의 최댓값을 바르게 구한다.

f(g(k))=−g(k)+k\displaystyle f ( g ( k ) ) = - g ( k ) + k로부터 f′(g(k))×g′(k)=−g′(k)+1\displaystyle f^{\prime} ( g ( k ) ) \times g^{\prime} ( k ) = - g^{\prime} ( k ) + 1이고, 이를 정리하면g′(k)×{f′(g(k))+1}=1\displaystyle g^{\prime} ( k ) \times \left\{ f^{\prime} ( g ( k ) ) + 1 \right\} = 1이므로 ㉠에 의해서 g′(k)>3−32\displaystyle g^{\prime} ( k ) > \frac{{3 - \sqrt{3}}}{2}이다.그러므로 b\displaystyle b의 최댓값은 3−32\displaystyle \frac{{3 - \sqrt{3}}}{2}이다.

[2-3]

+3점 · h(k)\displaystyle h ( k )를 k\displaystyle k와 g(k)\displaystyle g ( k )를 이용하여 바르게 나타낸다.

h(k)=2×22∣f(g(k))−g(k)∣=2∣f(g(k))−g(k)∣=2∣k−2g(k)∣\displaystyle h(k)=2\times\frac{\sqrt2}2|f(g(k))-g(k)|=\sqrt2|f(g(k))-g(k)|=\sqrt2|k-2g(k)|와 같고

h′(k)={2(1−2g′(k))(k<α)2(2g′(k)−1)(k>α)⋯\displaystyle h^{\prime} ( k ) = \begin{cases}\sqrt{2} ( 1 - 2 g^{\prime} ( k ) ) & ( k < \alpha ) \\ \sqrt{2} ( 2 g^{\prime} ( k ) - 1 ) & ( k > \alpha )\end{cases}\cdots㉠

h′′(k)={−22g′′(k)(k<α)22g′′(k)(k>α)⋯\displaystyle h^{\prime \prime} ( k ) = \begin{cases}- 2 \sqrt{2} g^{\prime \prime} ( k ) & ( k < \alpha ) \\ 2 \sqrt{2} g^{\prime \prime} ( k ) & ( k > \alpha )\end{cases}\cdots㉡

이다. 그리고 곡선 y=f(x)\displaystyle y = f ( x )는 아래로 볼록하므로 f′′(x)>0\displaystyle f^{\prime \prime} ( x ) > 0이다.

(또는, 함수 f(x)=(x23+1)12+2\displaystyle f ( x ) = \left( \frac{x^{2}}{3} + 1 \right)^{\frac{1}{2}} + 2에 대하여 이계도함수를 직접 구해도 f′′(x)>0\displaystyle f^{\prime \prime} ( x ) > 0임을 알 수 있다.)

한편 [2-2]의 결과로부터g′(k)×{f′(g(k))+1}=1\displaystyle g^{\prime} ( k ) \times \left\{ f^{\prime} ( g ( k ) ) + 1 \right\} = 1이고 g′(k)>3−32>12⋯\displaystyle g^{\prime} ( k ) > \frac{{3 - \sqrt{3}}}{2} > \frac{1}{2}\cdots㉢이므로 위 식을 양변 미분하면g′′(k)×{f′(g(k))+1}+{g′(k)}2×f′′(g(k))=0\displaystyle g^{\prime \prime} ( k ) \times \left\{ f^{\prime} ( g ( k ) ) + 1 \right\} + \left\{ g^{\prime} ( k ) \right\}^{2} \times f^{\prime \prime} ( g ( k ) ) = 0이다.f′(g(k))+1>0\displaystyle f^{\prime} ( g ( k ) ) + 1 > 0, {g′(k)}2×f′′(g(k))>0\displaystyle \left\{ g^{\prime} ( k ) \right\}^{2} \times f^{\prime \prime} ( g ( k ) ) > 0이므로 g′′(k)<0\displaystyle g^{\prime \prime} ( k ) < 0이다.⋯\displaystyle \cdots㉣

만일 함수 h(k)\displaystyle h ( k )가 k=α\displaystyle k = \alpha에서 미분가능하다고 가정하면, ㉠, ㉡, ㉢, ㉣로부터

+5점 · lim⁡k→α+h(k)−h(α)k−α\displaystyle \lim_{k \to \alpha +} \frac{{h ( k ) - h ( \alpha )}}{k - \alpha}의 범위를 바르게 구한다.

1) k>α\displaystyle k > \alpha일 때 h′(k)>0\displaystyle h^{\prime} ( k ) > 0이고, h′′(k)<0\displaystyle h^{\prime \prime} ( k ) < 0이므로 lim⁡k→α+h(k)−h(α)k−α>0\displaystyle \lim_{k \to \alpha +} \frac{{h ( k ) - h ( \alpha )}}{k-\alpha} > 0

+5점 · lim⁡k→α−h(k)−h(α)k−α\displaystyle \lim_{k \to \alpha -} \frac{{h ( k ) - h ( \alpha )}}{k-\alpha}의 범위를 바르게 구한다.

2) k<α\displaystyle k < \alpha일 때 h′(k)<0\displaystyle h^{\prime} ( k ) < 0이고, h′′(k)>0\displaystyle h^{\prime \prime} ( k ) > 0이므로 lim⁡k→α−h(k)−h(α)k−α≤0\displaystyle \lim_{k \to \alpha -} \frac{{h ( k ) - h ( \alpha )}}{k-\alpha} \le 0

+2점 · h(k)\displaystyle h ( k )가 k=α\displaystyle k = \alpha에서 미분 가능하지 않음을 바르게 서술한다.

이다. 따라서 lim⁡k→α−h(k)−h(α)k−α≠lim⁡k→α+h(k)−h(α)k−α\displaystyle \lim_{k \to \alpha -} \frac{{h ( k ) - h ( \alpha )}}{k-\alpha} \ne \lim_{k \to \alpha +} \frac{{h ( k ) - h ( \alpha )}}{k - \alpha}이므로 함수 h(k)\displaystyle h ( k )는 k=α\displaystyle k = \alpha에서 미분가능하지 않다.

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