논술 평행곡선

＊평행곡선

매끄러운 평면곡선 위의 각 점을 법선 방향으로 일정한 거리만큼 옮겼을 때,옮겨진 점들이 이루는 곡선을 평행곡선이라 한다.법선은 그 점에서의 접선에 수직인 직선이다.법선의 한쪽 방향을 연속적으로 정하고, 그 방향으로 이동한 거리를 $\displaystyle r$라 하면$\displaystyle r$의 부호를 바꾸어 반대쪽 평행곡선도 나타낼 수 있다.

＊평행곡선의 식

곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점을 $\displaystyle \mathrm{P}(t,f(t))$라 하자.접선의 방향벡터가 $\displaystyle (1,f^{\prime}(t))$이므로,이에 수직인 벡터 $\displaystyle (-f^{\prime}(t),1)$을 길이가 1이 되도록 나누면$\displaystyle \frac{(-f^{\prime}(t),1)}{\sqrt{1+\{f^{\prime}(t)\}^2}}$이다. 이 벡터에 $\displaystyle r$를 곱하여 점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 좌표에 더한다.

따라서 평행곡선 위의 점 $\displaystyle \mathrm{Q}(X(t),Y(t))$는$\displaystyle \begin{aligned}X(t)&=t-\frac{r f^{\prime}(t)}{\sqrt{1+\{f^{\prime}(t)\}^2}},\\Y(t)&=f(t)+\frac{r}{\sqrt{1+\{f^{\prime}(t)\}^2}}.\end{aligned}$이때 $\displaystyle \mathrm{PQ}=|r|$이고, 선분 $\displaystyle \mathrm{PQ}$는 점 $\displaystyle \mathrm{P}$에서의 접선에 수직이다.일정하게 유지하는 것은 대응하는 두 점 사이의 법선 방향 거리이다.

＊매개변수로 나타낸 곡선

곡선이 $\displaystyle (x(t),y(t))$로 주어지고 $\displaystyle (x^{\prime}(t),y^{\prime}(t))\ne(0,0)$이면,접선의 방향벡터를 90도 회전시킨 뒤 그 길이로 나누어 같은 방법을 적용한다.$\displaystyle \begin{aligned}X(t)&=x(t)-\frac{r y^{\prime}(t)}{\sqrt{\{x^{\prime}(t)\}^2+\{y^{\prime}(t)\}^2}},\\Y(t)&=y(t)+\frac{r x^{\prime}(t)}{\sqrt{\{x^{\prime}(t)\}^2+\{y^{\prime}(t)\}^2}}.\end{aligned}$

＊접선이 평행한 이유

$\displaystyle f$가 두 번 연속 미분가능할 때, 위의 $\displaystyle X(t),Y(t)$를 미분하면$\displaystyle (X^{\prime}(t),Y^{\prime}(t))=\left(1-\frac{r f^{\prime\prime}(t)}{[1+\{f^{\prime}(t)\}^2]^{3/2}}\right)(1,f^{\prime}(t))$이다. 앞의 계수가 0이 아닌 곳에서는 두 접선의 방향벡터가 서로 실수배이므로,원래 곡선과 평행곡선의 대응하는 점에서 접선이 평행하다.계수가 0인 곳에서는 이 논증을 적용할 수 없으며, 평행곡선에 뾰족한 점이 생기기도 한다.