자연계열 1번

[1-1]6명의 수학 점수가 모두 다르므로 6명 중 임의로 뽑은 두 명을 $\displaystyle \mathrm A_i$와 $\displaystyle \mathrm A_j$라고 하면($\displaystyle \mathrm A_i$의 수학 점수) $\displaystyle <$ ($\displaystyle \mathrm A_j$의 수학 점수)인 경우는 순서쌍 $\displaystyle (j,i)$가 조건 $\displaystyle p$를 참으로 하고,($\displaystyle \mathrm A_i$의 수학 점수) $\displaystyle >$ ($\displaystyle \mathrm A_j$의 수학 점수)인 경우는 순서쌍 $\displaystyle (i,j)$가 조건 $\displaystyle p$를 참으로 한다.따라서 6명 중 2명을 택하는 조합의 수와 진리집합 $\displaystyle P$의 원소의 개수는 같다. 즉 $\displaystyle n(P)={}_6\mathrm C_2=15$이다.

$\displaystyle \mathrm A_1$과 $\displaystyle \mathrm A_4$의 과학 점수만 같고 나머지의 과학 점수는 서로 다르므로 $\displaystyle U-\{(1,4),(4,1)\}$의 원소이면서 $\displaystyle i\ne j$인 $\displaystyle (i,j)$에 대하여임의의 두 명을 $\displaystyle \mathrm A_i$와 $\displaystyle \mathrm A_j$라고 하면($\displaystyle \mathrm A_i$의 과학 점수) $\displaystyle <$ ($\displaystyle \mathrm A_j$의 과학 점수)인 경우는 순서쌍 $\displaystyle (i,j)$가 조건 $\displaystyle q$를 참으로 하고,($\displaystyle \mathrm A_i$의 과학 점수) $\displaystyle >$ ($\displaystyle \mathrm A_j$의 과학 점수)인 경우는 순서쌍 $\displaystyle (j,i)$가 조건 $\displaystyle q$를 참으로 한다.따라서 6명 중 2명을 택하는 조합의 수에서 $\displaystyle \mathrm A_1$과 $\displaystyle \mathrm A_4$가 동시에 뽑히는 경우의 수를 제외한 값이 진리집합 $\displaystyle Q$의 원소의 개수이다. 즉, $\displaystyle n(Q)={}_6\mathrm C_2-1=14$이다.

$\displaystyle i$가 하나로 고정 되었을 때 조건 $\displaystyle p$와 $\displaystyle q$를 모두 만족 시키는 $\displaystyle j$를 찾으면, 전체 집합의 원소 중 $\displaystyle P\cap Q$의 원소는 $\displaystyle (2,1),(3,1),(6,5)$임을 알 수 있다.따라서 $\displaystyle n(P\cap Q)=3$이고, $\displaystyle n(P\cup Q)=n(P)+n(Q)-n(P\cap Q)=15+14-3=26$이다.

[1-2]6명 중 수학 점수가 80점 이상인 학생이 3명이고 80점 미만인 학생이 3명이다. (i) 수학 점수가 80점 이상인 학생이 0명 뽑히는 경우, (ii) 수학 점수가 80점 이상인 학생이 1명 뽑히는 경우, (iii) 수학 점수가 80점 이상인 학생이 2명 뽑히는 경우, (iv) 수학 점수가 80점 이상인 학생이 3명 뽑히는 경우로 나누어 생각한다.(i) 6명 중 4명을 뽑는다면 적어도 한 명은 수학 점수가 80점 이상이므로 수학 점수가 80점 이상인 학생이 한 명도 뽑히지 않는 경우의 수는 0이다.

(ii) 뽑힌 4명 중 수학 점수가 80점 이상인 학생이 1명인 경우의 수는 $\displaystyle {}_3\mathrm C_1=3$이고, 각각의 경우에 대하여 수학 점수가 80점 이상인 학생이 이웃할 수 없으므로 4명을 자유롭게 나열하는 경우의 수는 $\displaystyle 4!=24$이다. 따라서 구하는 경우의 수는 $\displaystyle {}_3\mathrm C_1\times4!=72$이다.

(iii) 뽑힌 4명 중 수학 점수가 80점 미만인 학생 2명을 먼저 나열하는 경우의 수는 $\displaystyle {}_3\mathrm P_2=6$이고, 80점 이상인 학생 두 명을 뽑아 서로 이웃하지 않도록 이미 나열된 두 사람 옆자리에 한 명씩 나열하는 경우의 수는 $\displaystyle {}_3\mathrm C_2\times{}_3\mathrm P_2=3\times6=18$이다.따라서 구하는 경우의 수는 $\displaystyle {}_3\mathrm P_2\times{}_3\mathrm C_2\times{}_3\mathrm P_2=108$이다.

(iv) 뽑힌 4명 중 수학 점수가 80점 이상인 학생이 3명인 경우는 이웃하지 않게 나열할 수 없으므로 경우의 수는 0이다.

따라서 구하는 총 경우의 수는 $\displaystyle 0+72+108+0=180$이다.