의·약학계 2번

[2-1]우선 $\displaystyle d_1$을 구하자. 두 점 P와 $\displaystyle \mathrm P_3$의 좌표는$\displaystyle \mathrm P(\cos\theta,\sin\theta),\quad\mathrm P_3\left(\cos\left(\theta-\frac\pi2\right),\sin\left(\theta-\frac\pi2\right)\right)=(\sin\theta,-\cos\theta)$이므로 직선 $\displaystyle \mathrm{PP}_3$의 방정식은 $\displaystyle (\cos\theta+\sin\theta)x-(\cos\theta-\sin\theta)y-1=0$이다.한편, 점 $\displaystyle \mathrm Q_1$의 좌표가$\displaystyle \left(1+\cos\left(\theta+\frac{2\pi}3\right),\sin\left(\theta+\frac{2\pi}3\right)\right)=\left(1-\frac12\cos\theta-\frac{\sqrt3}2\sin\theta,-\frac12\sin\theta+\frac{\sqrt3}2\cos\theta\right)$이므로 점 $\displaystyle \mathrm Q_1$과 직선 $\displaystyle \mathrm{PP}_3$ 사이의 거리 $\displaystyle d_1$을 구하면,$\displaystyle d_1=\frac{\left|(\cos\theta+\sin\theta)\left(1-\frac12\cos\theta-\frac{\sqrt3}2\sin\theta\right)-(\cos\theta-\sin\theta)\left(-\frac12\sin\theta+\frac{\sqrt3}2\cos\theta\right)-1\right|}{\sqrt{(\cos\theta+\sin\theta)^2+(\cos\theta-\sin\theta)^2}}$

$\displaystyle \begin{aligned}d_1&=\frac{\left|\cos\theta+\sin\theta-\frac12\cos^2\theta-\frac{\sqrt3}2\sin^2\theta-\frac12\sin^2\theta-\frac{\sqrt3}2\cos^2\theta-1\right|}{\sqrt{(\cos^2\theta+2\cos\theta\sin\theta+\sin^2\theta)+(\cos^2\theta-2\cos\theta\sin\theta+\sin^2\theta)}}\\&=\frac1{\sqrt2}\left|\cos\theta+\sin\theta-\frac{3+\sqrt3}2\right|=\frac1{\sqrt2}\left(\frac{3+\sqrt3}2-\cos\theta-\sin\theta\right)\end{aligned}$이다.

다음으로 $\displaystyle d_2$를 구하자. 선분 PQ의 길이는 1이고 $\displaystyle \angle\mathrm{AQQ}_1=\frac\pi6,\;\angle\mathrm{AQP}=\theta$이므로[그림1]의 경우는 $\displaystyle \angle\mathrm{PQQ}_1=\frac\pi6-\theta$이고 [그림2]의 경우는 $\displaystyle \angle\mathrm{PQQ}_1=\theta-\frac\pi6$이다.따라서 $\displaystyle d_2=\left|\sin\left(\theta-\frac\pi6\right)\right|$이다.

[2-2]우선 두 개의 그림 모두에서 직선 $\displaystyle \mathrm{PP}_3$이 $\displaystyle x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 $\displaystyle \theta+\frac\pi4$이고, 직선 $\displaystyle \mathrm Q_1\mathrm Q_2$가 $\displaystyle x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 $\displaystyle \theta+\frac\pi2$이므로$\displaystyle \angle\mathrm{PSQ}_1=\left(\theta+\frac\pi2\right)-\left(\theta+\frac\pi4\right)=\frac\pi4$임을 확인할 수 있다.

(i) $\displaystyle \frac\pi6<\theta\le\frac\pi3$인 경우 [그림2]에서 $\displaystyle \triangle\mathrm Q_1\mathrm{RS}$의 넓이 $\displaystyle S(\theta)$를 구하자.

$\displaystyle \angle\mathrm{RSQ}_1=\frac\pi4$이고 점 $\displaystyle \mathrm Q_1$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{PP}_3}$의 수선의 발을 H라 하면 $\displaystyle \triangle\mathrm Q_1\mathrm{HS}$는 직각이등변삼각형이다.그러므로 $\displaystyle \angle\mathrm{HQ}_1\mathrm R=\frac\pi3-\frac\pi4=\frac\pi{12}$이고, 제시문 [I]에 의해$\displaystyle \tan\frac\pi{12}=\tan\left(\frac\pi3-\frac\pi4\right)=\frac{\sqrt3-1}{1+\sqrt3}=2-\sqrt3$이다.$\displaystyle \overline{\mathrm Q_1\mathrm H}=d_1$이므로$\displaystyle S(\theta)=\frac12\times\overline{\mathrm{RS}}\times\overline{\mathrm Q_1\mathrm H}=\frac12\times\left(d_1+d_1\tan\frac\pi{12}\right)\times d_1=\frac12(3-\sqrt3)d_1^2$이고, [2-1]의 $\displaystyle d_1$에 의해$\displaystyle S(\theta)=\frac{3-\sqrt3}4\times\left(\frac{3+\sqrt3}2-\cos\theta-\sin\theta\right)^2\quad\left(\frac\pi6<\theta\le\frac\pi3\right)$이다.

(ii) $\displaystyle \frac\pi9\le\theta<\frac\pi6$인 경우 [그림1]에서 사각형 $\displaystyle \mathrm Q_1\mathrm{SPR}$의 넓이 $\displaystyle S(\theta)$를 구하자.

직선 $\displaystyle \mathrm{PP}_3$가 $\displaystyle \overline{\mathrm{QQ}_1}$와 만나는 점을 T라 하자.사각형 $\displaystyle \mathrm Q_1\mathrm{SPR}$의 넓이 $\displaystyle S(\theta)$는 $\displaystyle \triangle\mathrm Q_1\mathrm{ST}$의 넓이에서 $\displaystyle \triangle\mathrm{RPT}$의 넓이를 뺀 것이다.먼저, 직각삼각형 RPT에서 $\displaystyle \angle\mathrm{PRT}=\frac\pi{12},\;\angle\mathrm{PTR}=\frac5{12}\pi$이므로$\displaystyle \overline{\mathrm{RP}}\times\sin\frac\pi{12}=d_2,\;\overline{\mathrm{PT}}\times\sin\frac5{12}\pi=d_2$이고, 제시문 [I]에 의해$\displaystyle \cos\frac5{12}\pi=\cos\left(\frac\pi6+\frac\pi4\right)=\frac{\sqrt6-\sqrt2}4,\qquad\cos\frac\pi{12}=\cos\left(\frac\pi3-\frac\pi4\right)=\frac{\sqrt6+\sqrt2}4$이므로 [2-1]의 $\displaystyle d_2$를 적용하여 직각삼각형 RPT의 넓이를 구하면$\displaystyle \frac12\times\frac{d_2}{\cos\frac5{12}\pi}\times\frac{d_2}{\cos\frac\pi{12}}=2d_2^2=2\sin^2\left(\theta-\frac\pi6\right)$이다.이때 $\displaystyle \triangle\mathrm Q_1\mathrm{ST}$의 넓이는 (i)에서 구한 $\displaystyle \triangle\mathrm Q_1\mathrm{RS}$의 넓이와 같은 식으로 표현되고,$\displaystyle \triangle\mathrm Q_1\mathrm{ST}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{3-\sqrt3}4\times\left(\frac{3+\sqrt3}2-\cos\theta-\sin\theta\right)^2$이므로$\displaystyle S(\theta)=\frac{3-\sqrt3}4\times\left(\frac{3+\sqrt3}2-\cos\theta-\sin\theta\right)^2-2\sin^2\left(\theta-\frac\pi6\right)\quad\left(\frac\pi9\le\theta<\frac\pi6\right)$이다.

(i), (ii)에 의하여 함수 $\displaystyle S(\theta)$는$\displaystyle S(\theta)=\begin{cases}\frac{3-\sqrt3}4\times\left(\frac{3+\sqrt3}2-\cos\theta-\sin\theta\right)^2-2\sin^2\left(\theta-\frac\pi6\right)&\left(\frac\pi9\le\theta<\frac\pi6\right)\\\frac{3-\sqrt3}4\times\left(\frac{3+\sqrt3}2-\cos\theta-\sin\theta\right)^2&\left(\frac\pi6<\theta\le\frac\pi3\right)\end{cases}$이다. 한편,$\displaystyle S^{\prime}(\theta)=\begin{cases}\frac{3-\sqrt3}2\left(\frac{3+\sqrt3}2-\cos\theta-\sin\theta\right)(\sin\theta-\cos\theta)-4\sin\left(\theta-\frac\pi6\right)\cos\left(\theta-\frac\pi6\right)&\left(\frac\pi9<\theta<\frac\pi6\right)\\\frac{3-\sqrt3}2\left(\frac{3+\sqrt3}2-\cos\theta-\sin\theta\right)(\sin\theta-\cos\theta)&\left(\frac\pi6<\theta<\frac\pi3\right)\end{cases}$이고, 따라서 $\displaystyle \lim_{\theta\to\frac\pi6-}S^{\prime}(\theta)=\frac{3-2\sqrt3}2,\;\lim_{\theta\to\frac\pi6+}S^{\prime}(\theta)=\frac{3-2\sqrt3}2$이므로제시문 [II]에 의해 $\displaystyle \lim_{\theta\to\frac\pi6}S^{\prime}(\theta)$의 값은 존재하고 그 값은 $\displaystyle \frac{3-2\sqrt3}2$이다.