의·약학계 1번

[1-1]$\displaystyle x>-1$에서 $\displaystyle g^{\prime}(x)=\left|f^{\prime}(x)\right|\ge0$이므로 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle x>-1$에서 증가하는 함수이다.실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle x=-1$에서 연속이므로$\displaystyle f(-1)=\lim_{x\to-1^{-}}f(x)=\lim_{x\to-1^{-}}g(x)=g(-1)=-18$이다. 따라서 $\displaystyle f(-1)=g(-1)=-18$ ⋯⋯ ㉠

조건 (가), (나)에서 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle g(x)\ge-18$, $\displaystyle g(-1)=-18$이므로 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle x=-1$에서 극솟값을 가지고 $\displaystyle g^{\prime}(-1)=0$이다. 또한$\displaystyle \begin{aligned} f^{\prime}(-1) &= \lim_{x\to-1}\frac{f(x)-f(-1)}{x-(-1)}=\lim_{x\to-1^{-}}\frac{f(x)-f(-1)}{x-(-1)} \\ &= \lim_{x\to-1^{-}}\frac{g(x)-g(-1)}{x-(-1)}=\lim_{x\to-1}\frac{g(x)-g(-1)}{x-(-1)} \\ &= g^{\prime}(-1) \end{aligned}$이므로 $\displaystyle g^{\prime}(-1)=0$에서 $\displaystyle f^{\prime}(-1)=0$이다.

$\displaystyle x>-1$에서 $\displaystyle g^{\prime}(x)=\left|f^{\prime}(x)\right|$이므로$\displaystyle g^{\prime}(0)=\left|f^{\prime}(0)\right|=0$, $\displaystyle g^{\prime}(a)=\left|f^{\prime}(a)\right|=0$이 되어 $\displaystyle f^{\prime}(0)=f^{\prime}(a)=0$이다.사차함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x<-1$에서 $\displaystyle f(x)=g(x)\ge-18$이므로 $\displaystyle f(x)$의 최고차항의 계수는 양수이고 $\displaystyle f^{\prime}(-1)=f^{\prime}(0)=f^{\prime}(a)=0\ (a>1)$에 의하여 함수 $\displaystyle f^{\prime}(x)$를$\displaystyle f^{\prime}(x)=kx(x+1)(x-a)\ (k\text{는 }k>0\text{인 상수})$로 놓을 수 있다.$\displaystyle -1<x<0$, $\displaystyle x>a$일 때, $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$ ⋯⋯ ㉡$\displaystyle x<-1$, $\displaystyle 0<x<a$일 때, $\displaystyle f^{\prime}(x)<0$ ⋯⋯ ㉢

제시문 [Ⅱ]와 ㉠, ㉡에 의하여$\displaystyle \begin{aligned} g(0) &= g(-1)+\int_{-1}^{0}\left|f^{\prime}(t)\right|dt \\ &= g(-1)+\int_{-1}^{0}f^{\prime}(t)dt \\ &= g(-1)+f(0)-f(-1) \\ &= f(0) \end{aligned}$조건 (다)에서 $\displaystyle g(0)=-13$이므로 $\displaystyle f(0)=-13$ ⋯⋯ ㉣

[1-2]$\displaystyle g(1)=\int_{1}^{1}\left|f^{\prime}(t)\right|dt=0$이고 ㉡, ㉢에 의하여$\displaystyle \begin{aligned} g(1) &= g(0)+\int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(t)\right|dt \\ &= g(0)-\int_{0}^{1}f^{\prime}(t)dt \\ &= g(0)-\{f(1)-f(0)\} \\ &= g(0)+f(0)-f(1) \\ &= -26-f(1) \end{aligned}$에서 $\displaystyle f(1)=-26$ ⋯⋯ ㉤

이제 위의 사실을 이용하여 $\displaystyle f(x)$를 구하자.$\displaystyle f^{\prime}(x)=kx(x+1)(x-a)$이고 ㉣에 의하여$\displaystyle \begin{aligned} f(x) &= f(0)+\int_{0}^{x}f^{\prime}(t)dt \\ &= -13+\int_{0}^{x}kt(t+1)(t-a)dt \\ &= k\left\{\frac{1}{4}x^{4}+\frac{1}{3}(1-a)x^{3}-\frac{1}{2}ax^{2}\right\}-13 \end{aligned}$

㉠, ㉤에 의하여$\displaystyle \begin{aligned} f(-1) &= k\left\{\frac{1}{4}-\frac{1}{3}(1-a)-\frac{1}{2}a\right\}-13 \\ &= \frac{k}{12}(-1-2a)-13 \\ &= -18 \end{aligned}$

$\displaystyle \begin{aligned} f(1) &= k\left\{\frac{1}{4}+\frac{1}{3}(1-a)-\frac{1}{2}a\right\}-13 \\ &= \frac{k}{12}(7-10a)-13 \\ &= -26 \end{aligned}$

이고 $\displaystyle \frac{k}{12}(-1-2a)=-5$, $\displaystyle \frac{k}{12}(7-10a)=-13$에서 $\displaystyle k=12$, $\displaystyle a=2$이다.

[1-3]$\displaystyle f(x)=3x^{4}-4x^{3}-12x^{2}-13$이고$\displaystyle f(1)=-26$, $\displaystyle f(2)=-45$, $\displaystyle f(3)=14$, $\displaystyle g(1)=\int_{1}^{1}\left|f^{\prime}(t)\right|dt=0$이다.

따라서$\displaystyle \begin{aligned} g(a+1)-2g(a-1) &= g(3)-2g(1)=g(3)-0 \\ &= \int_{1}^{3}\left|f^{\prime}(t)\right|dt \\ &= \int_{1}^{2}\left|f^{\prime}(t)\right|dt+\int_{2}^{3}\left|f^{\prime}(t)\right|dt \\ &= -\int_{1}^{2}f^{\prime}(t)dt+\int_{2}^{3}f^{\prime}(t)dt \\ &= -\{f(2)-f(1)\}+\{f(3)-f(2)\} \\ &= f(1)+f(3)-2f(2) \\ &= -26+14-2\times(-45) \\ &= 78 \end{aligned}$