자연계열 3번

[3-1]점 R이 나타내는 영역은 그림의 색칠된 부분과 같다.

두 직선 $\displaystyle y=-(x-4)$와 $\displaystyle y=\frac12(x-3)$의 교점을 E, 두 직선 $\displaystyle y=\frac12(x-2)-1$과 $\displaystyle y=-(x-3)$의 교점을 F라 하면 $\displaystyle \mathrm E\left(\frac{11}3,\frac13\right),\;\mathrm F\left(\frac{10}3,-\frac13\right)$이다.구하는 영역의 넓이는 위 그림의 바깥쪽 직사각형의 넓이에서 다섯 삼각형의 넓이 $\displaystyle S_1,S_2,S_3,S_4,S_5$를 뺀 것과 같다.따라서 구하는 영역의 넓이는$\displaystyle 4\times2-\frac12\left(1\times1+2\times\frac23+1\times1+2\times\frac23+2\times1\right)=8-\frac{10}3=\frac{14}3$

[3-2]우선 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OS}}$의 최댓값을 구하자.$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}$와 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OS}}$가 이루는 각을 $\displaystyle \theta$라 할 때, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OS}}=|\overrightarrow{\mathrm{OP}}||\overrightarrow{\mathrm{OS}}|\cos\theta$이다.따라서 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OS}}$의 최댓값은 $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$와 $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{OS}}|$의 값이 최대이며, $\displaystyle \cos\theta=1$일 때이다.즉, 이러한 조건을 만족하는 점 P와 점 S가 모두 $\displaystyle (3,0)$으로 존재하므로$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OS}}$의 최댓값은 $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{OP}}||\overrightarrow{\mathrm{OS}}|=3\times3=9$이다.

다음으로 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OS}}$의 최솟값을 구하자.점 P를 직선 OS 위에 내린 수선의 발을 H라 하면,$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OS}}=|\overrightarrow{\mathrm{OS}}||\overrightarrow{\mathrm{OH}}|$이다.

이때 임의의 점 S에 대하여 두 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OS}}$와 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}$가 이루는 각의 크기를 $\displaystyle \theta$라 하면, 점 P는 선분 AB 또는 선분 BC 위에 존재한다.이때 선분 AB 위에 있는 점을 $\displaystyle \mathrm P_1$, 선분 BC 위에 있는 점을 $\displaystyle \mathrm P_2$라 하고, 각각의 점에 대해서 직선 OS에 내린 수선의 발을 각각 $\displaystyle \mathrm H_1,\mathrm H_2$라 하자.

$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{OH}_1}|<|\overrightarrow{\mathrm{OH}_2}|$이므로 임의의 점 S에 대하여 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OS}}$가 최소가 되기 위한 점 P의 위치는 선분 AB 위에 있을 때이며 특히 점 P는 점 B와 같을 때 최소가 된다. ⋯ ㉠Comment. 점 $\displaystyle S$를 고정하면 $\displaystyle \overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OS}$는 두 선분 모두 $\displaystyle P=B$일 때 최소가 되므로 최솟값은 맞지만, 두 선분 위의 점을 임의로 잡으면 $\displaystyle OH_1<OH_2$라고 할 수는 없다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

또한 두 점 A와 C의 중점을 T라 하고, 두 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}$와 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{TS}}$가 이루는 각의 크기를 $\displaystyle \alpha$라 하면$\displaystyle \begin{aligned}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OS}}&=(\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{AB}})\cdot(\overrightarrow{\mathrm{OT}}+\overrightarrow{\mathrm{TS}})\\&=(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OT}})+(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OT}})+(\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{AB}})\cdot\overrightarrow{\mathrm{TS}}\\&=2+0+\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{TS}}\\&=2+|\overrightarrow{\mathrm{OB}}||\overrightarrow{\mathrm{TS}}|\cos\alpha\\&=2+|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|\cos\alpha\end{aligned}$

이때 $\displaystyle \cos\alpha=-1$이 되도록 하는 점 S는 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}$와 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{TS}}$의 방향이 반대인 경우로 존재하므로$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OS}}$의 최솟값은 $\displaystyle 2+|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|\cos\alpha=2-\sqrt2$