의·약학계 3번

[3-1]$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\left(\frac{3\sqrt3}2,\frac32\right)$이다. 이때 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}=k\overrightarrow{\mathrm{BQ}}$ ⋯⋯ ㉠을 만족시키는 점 Q가 존재한다는 것은 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{BQ}}$가 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$와 평행이므로 점 Q는 점 B를 지나고 기울기가 $\displaystyle \frac{\sqrt3}3$인 직선 위에 존재한다는 것이다. 즉, 점 Q는 직선 $\displaystyle y=\frac{\sqrt3}3x-3$ 위에 존재한다.이때 점 Q가 점 B와 같아지면 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BP}}=0$이 되므로 이러한 조건을 만족시키는 점 P는 존재하지 않으며, 점 Q는 점 B가 아니다.

또한 ㉠을 만족시키는 점 Q의 개수가 0이 되어야 하므로 조건 (나)를 만족시키는 점 Q는 직선 $\displaystyle y=\frac{\sqrt3}3x-3$ 위에 존재하지 않아야 한다. 따라서 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PQ}}$는 직선 $\displaystyle y=\frac{\sqrt3}3x-3$과 평행하고, 조건 (나)에 의해 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}}$는 $\displaystyle y=\frac{\sqrt3}3x-3$과 수직이다. 즉, 두 점 A와 P를 지나는 직선의 방정식은 $\displaystyle y=-\sqrt3x+3$이다.

이때 $\displaystyle \mathrm P(a,b)$라 하면, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}}=(a,b-3)$이므로 $\displaystyle \frac{b-3}a=-\sqrt3,\;b=-\sqrt3a+3$이고 조건 (가)에 의해 $\displaystyle a^2+b^2=4$이므로$\displaystyle a^2+(-\sqrt3a+3)^2=4$$\displaystyle 4a^2-6\sqrt3a+5=0$$\displaystyle a=\frac{3\sqrt3\pm\sqrt{27-20}}4=\frac{3\sqrt3\pm\sqrt7}4$이다.따라서 점 P는 $\displaystyle \left(\frac{3\sqrt3+\sqrt7}4,\frac{3-\sqrt{21}}4\right)$ 또는 $\displaystyle \left(\frac{3\sqrt3-\sqrt7}4,\frac{3+\sqrt{21}}4\right)$이다.

[3-2]점 Q는 직선 $\displaystyle y=\frac{\sqrt3}3x-3$ 위에 존재한다. ⋯⋯㉡이때 점 $\displaystyle \mathrm P(a,b)$라 하면, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}}=(a,b-3)$는 직선 PQ의 법선벡터가 되므로 직선 PQ는$\displaystyle a(x-a)+(b-3)(y-b)=0$$\displaystyle y=\frac a{3-b}(x-a)+b$이다.㉡에 의해 점 Q는 $\displaystyle y=\frac{\sqrt3}3x-3$ 위에도 존재하므로 점 Q의 $\displaystyle x$좌표를 $\displaystyle t$라 하면$\displaystyle \frac a{3-b}(t-a)+b=\frac{\sqrt3}3t-3$이 성립한다.$\displaystyle \left(\frac1{\sqrt3}-\frac a{3-b}\right)t=\frac{-a^2}{3-b}+b+3$$\displaystyle (3-b-\sqrt3a)t=\sqrt3\{-a^2+(b+3)(3-b)\}=\sqrt3\{9-(a^2+b^2)\}=5\sqrt3$$\displaystyle t=\frac{5\sqrt3}{3-b-\sqrt3a}$ ⋯⋯㉢

이때, 점 Q는 $\displaystyle \left(t,\frac{\sqrt3}3t-3\right)$이므로 $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|=\left|\left(t,\frac{\sqrt3}3t\right)\right|=\frac{2\sqrt3}3|t|$이다.

즉, $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|$가 최소가 되도록 하는 점 Q의 좌표는 ㉢에 의해 $\displaystyle |3-b-\sqrt3a|$의 값이 최대일 때이다.$\displaystyle 3-b-\sqrt3a=d$라 하면, $\displaystyle a^2+b^2=4$를 만족시키므로 $\displaystyle (0,0)$과 $\displaystyle \sqrt3x+y+d-3=0$ 사이의 거리가 2일 때, $\displaystyle d$는 최댓값과 최솟값을 가진다.

$\displaystyle \frac{|d-3|}{\sqrt{3+1}}=2$일 때, $\displaystyle d=-1$ 또는 $\displaystyle d=7$이므로 $\displaystyle |d|$의 최댓값은 7이다.따라서 $\displaystyle |t|$의 최솟값은 $\displaystyle \frac{5\sqrt3}7$이고, $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|$의 최솟값은 $\displaystyle \frac{2\sqrt3}3\times\frac{5\sqrt3}7=\frac{10}7$이다.