자연계열 2번

[2-1]여덟 개의 구간을 각각$\displaystyle I_1=\left(0,\frac\pi4\right),\ I_2=\left(\frac\pi4,\frac\pi2\right),\ I_3=\left(\frac\pi2,\frac{3\pi}4\right),\ I_4=\left(\frac{3\pi}4,\pi\right)$$\displaystyle I_5=\left(\pi,\frac{5\pi}4\right),\ I_6=\left(\frac{5\pi}4,\frac{3\pi}2\right),\ I_7=\left(\frac{3\pi}2,\frac{7\pi}4\right),\ I_8=\left(\frac{7\pi}4,2\pi\right)$라 표현하자. 8개의 각 구간 $\displaystyle I_k$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$ 또는 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\sin2x$이다. 따라서 8개의 각 구간 $\displaystyle I_k$에서 $\displaystyle f(x)$는 상수함수 또는 $\displaystyle f(x)=-\frac12\cos2x+C$ (단, $\displaystyle C$는 상수)의 형태이다.즉, 8개의 각각의 구간에서 택할 수 있는 $\displaystyle f(x)$의 그래프 모양은 2가지이다.그러므로i) $\displaystyle f(0)=2$이고 $\displaystyle f(2\pi)=1$,ii) 최댓값을 가지는 $\displaystyle x$의 값의 개수가 1이고,iii) 미분가능이 되도록 8개의 각각의 구간에서 2가지 중 한 가지를 택해서 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프 모양을 완성하면 아래와 같다.

따라서$\displaystyle f(x)=\begin{cases}-\frac12\cos(2x)+C_1&(0\le x<\pi)\\C_2&\left(\pi\le x<\frac32\pi\right)\\-\frac12\cos(2x)+C_3&\left(\frac32\pi\le x\le2\pi\right)\end{cases}$(단, $\displaystyle C_1,C_2,C_3$는 적분상수) 이다.여기서 함수 $\displaystyle f(x)$는 연속함수이고 $\displaystyle f(0)=2,\;f(2\pi)=1$을 만족하므로$\displaystyle \begin{cases}-\frac12+C_1=2\\-\frac12+C_1=C_2\\-\frac12+C_3=1\end{cases}$이다.그러므로 $\displaystyle C_1=\frac52,\;C_2=2,\;C_3=\frac32$이고, 결론적으로 함수 $\displaystyle f(x)$는$\displaystyle f(x)=\begin{cases}-\frac12\cos(2x)+\frac52&(0\le x<\pi)\\2&\left(\pi\le x<\frac32\pi\right)\\-\frac12\cos(2x)+\frac32&\left(\frac32\pi\le x\le2\pi\right)\end{cases}$이다.

[2-2]$\displaystyle 0\le t\le2\pi$인 하나의 실수 $\displaystyle t$에 대하여 다음의 경우로 나누어 생각하자.[경우 1] $\displaystyle t=0$ 또는 $\displaystyle \pi\le t\le\frac32\pi$일 때를 생각하자. 이때 $\displaystyle f(t)=2$이다.

위의 그림과 같이 $\displaystyle f(x)\ge f(t)$인 $\displaystyle x$의 범위는 $\displaystyle 0\le x\le\frac32\pi$이므로 $\displaystyle x$의 최댓값은 $\displaystyle \frac32\pi$이다.따라서 이 경우 $\displaystyle g(t)=\frac32\pi\;\left(t=0\text{ 또는 }\pi\le t\le\frac32\pi\right)$이다.[경우 2] $\displaystyle 0<t<\frac\pi2$일 때를 생각하자. 이때 $\displaystyle 2<f(t)\le3$이다.

위의 그림과 같이 $\displaystyle f(x)\ge f(t)$인 $\displaystyle x$의 범위는 $\displaystyle t\le x\le\pi-t$이므로 $\displaystyle x$의 최댓값은 $\displaystyle \pi-t$이다.따라서 이 경우 $\displaystyle g(t)=\pi-t\;\left(0<t<\frac\pi2\right)$이다.[경우 3] $\displaystyle \frac\pi2\le t<\pi$일 때를 생각하자. 이때 $\displaystyle 2<f(t)\le3$이다.

위의 그림과 같이 $\displaystyle f(x)\ge f(t)$인 $\displaystyle x$의 범위는 $\displaystyle \pi-t\le x\le t$이므로 $\displaystyle x$의 최댓값은 $\displaystyle t$이다.따라서 이 경우 $\displaystyle g(t)=t\;\left(\frac\pi2\le t<\pi\right)$이다.[경우 4] $\displaystyle \frac32\pi<t\le2\pi$일 때를 생각하자. 이때 $\displaystyle 1\le f(t)<2$이다.

위의 그림과 같이 $\displaystyle f(x)\ge f(t)$인 $\displaystyle x$의 범위는 $\displaystyle 0\le x\le t$이므로 $\displaystyle x$의 최댓값은 $\displaystyle t$이다.따라서 이 경우 $\displaystyle g(t)=t\;\left(\frac32\pi<t\le2\pi\right)$이다.

그러므로 [경우1~4]를 정리하면$\displaystyle g(t)=\begin{cases}\frac32\pi&\left(t=0\text{ 또는 }\pi\le t\le\frac32\pi\right)\\t&\left(\frac\pi2\le t<\pi\text{ 또는 }\frac32\pi<t\le2\pi\right)\\\pi-t&\left(0<t<\frac\pi2\right)\end{cases}$

[2-3][2-2]의 결과에 의해 연속함수 $\displaystyle h(t)$는 다음과 같다.$\displaystyle h(t)=\begin{cases}\frac32\pi\sin t&\left(\pi\le t\le\frac32\pi\right)\\t\sin t&\left(\frac\pi2\le t<\pi\text{ 또는 }\frac32\pi<t\le2\pi\right)\\(\pi-t)\sin t&\left(0\le t<\frac\pi2\right)\end{cases}$따라서 $\displaystyle \int_0^{2\pi}h(t)\,dt$의 값을 아래와 같이 구간을 나누어서 구할 수 있다.$\displaystyle \int_0^{\frac\pi2}(\pi-t)\sin t\,dt+\int_{\frac\pi2}^{\pi}t\sin t\,dt+\int_{\pi}^{\frac32\pi}\frac32\pi\sin t\,dt+\int_{\frac32\pi}^{2\pi}t\sin t\,dt$

첫 번째 정적분의 값을 구하면,$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^{\frac\pi2}(\pi-t)\sin t\,dt&=\pi\int_0^{\frac\pi2}\sin t\,dt-\int_0^{\frac\pi2}t\sin t\,dt\\&=\pi\Biggl[-\cos t\Biggr]_0^{\frac\pi2}-\left\{\Biggl[-t\cos t\Biggr]_0^{\frac\pi2}+\int_0^{\frac\pi2}\cos t\,dt\right\}\\&=\pi-\left\{(-0+0)+\Biggl[\sin t\Biggr]_0^{\frac\pi2}\right\}=\pi-1\end{aligned}$이므로 따라서 구하는 값은$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^{2\pi}h(t)\,dt&=\int_0^{\frac\pi2}(\pi-t)\sin t\,dt+\int_{\frac\pi2}^{\pi}t\sin t\,dt+\frac32\pi\int_{\pi}^{\frac32\pi}\sin t\,dt+\int_{\frac32\pi}^{2\pi}t\sin t\,dt\\&=\pi-1+\left\{\Biggl[-t\cos t\Biggr]_{\frac\pi2}^{\pi}+\int_{\frac\pi2}^{\pi}\cos t\,dt\right\}-\frac32\pi\Biggl[\cos t\Biggr]_{\pi}^{\frac32\pi}+\Biggl[-t\cos t\Biggr]_{\frac32\pi}^{2\pi}+\int_{\frac32\pi}^{2\pi}\cos t\,dt\\&=\pi-1+\left\{(\pi+0)+\Biggl[\sin t\Biggr]_{\frac\pi2}^{\pi}\right\}-\frac32\pi+(-2\pi+0)+\Biggl[\sin t\Biggr]_{\frac32\pi}^{2\pi}\\&=2(\pi-1)-\frac32\pi-2\pi+1=-\frac32\pi-1\end{aligned}$