자연계열 A 1번

• 1-1번 문항

(1) 반지의 위치를 R라 하면, 양 끝점으로부터 반지까지의 거리의 합 $\displaystyle \overline{\mathrm{PR}}+\overline{\mathrm{RQ}}$가 $\displaystyle 4\sqrt2$로 일정하다. 따라서, 반지가 움직이는 궤적은 타원의 일부이다.

(2) 두 점 P, Q 사이의 거리가 $\displaystyle 2\sqrt2$이고, P, Q를 지나는 직선이 $\displaystyle x$축, P, Q의 중점이 원점이므로 초점의 좌표는 $\displaystyle (-\sqrt2,0)$과 $\displaystyle (\sqrt2,0)$이다.

또, 실의 길이가 $\displaystyle 4\sqrt2$이므로 $\displaystyle X$축과 만나는 점의 $\displaystyle X$좌표는 $\displaystyle X=\pm2\sqrt2$, $\displaystyle Y$축과 만나는 점의 $\displaystyle Y$좌표는 $\displaystyle \pm\sqrt6$이다.

따라서, 구하는 타원의 방정식은 $\displaystyle \frac{X^2}8+\frac{Y^2}6=1$이다.

• 1-2번 문항

(단계 1) 반지가 평면과 가장 가까운 위치에서 멈췄을 때, 반지의 위치와 두 점 P, Q가 이루는 평면 $\displaystyle \pi$는 $\displaystyle xy$평면과 수직인 평면이다, 이때, 두 평면의 교선을 $\displaystyle \ell$이라 하자.

(단계 2) 두 점 P, Q에서 $\displaystyle xy$평면까지 이르는 수직거리의 차가 $\displaystyle 5-3=2$이고, 두 점에서 $\displaystyle xy$평면 위에 내린 수선의 발 $\displaystyle (0,-\sqrt3),(1,0)$사이의 거리도 2이므로 평면 $\displaystyle \pi$ 위에서 직선 $\displaystyle \ell$과 $\displaystyle X$축이 이루는 각은 $\displaystyle \frac\pi4$이다. 따라서, $\displaystyle XY$평면에서 직선 $\displaystyle \ell$의 방정식은 $\displaystyle Y=-X-m\ (m>0)$꼴이다.

(단계 3) 직선 $\displaystyle \ell$의 절편 $\displaystyle m$을 구하기 위해 점 P에서 $\displaystyle \ell$에 이르는 수직거리가 5임을 이용하면, $\displaystyle \frac{|\sqrt2+m|}{\sqrt2}=5\ \Leftrightarrow\ m=4\sqrt2$이다.

• 1-3번 문항

(단계 1) 반지가 $\displaystyle xy$평면과 가장 가까운 위치는 기울기가 $\displaystyle -1$인 직선이 접선 $\displaystyle \ell\prime$이 되는 접점의 위치이므로 접선의 기울기가 $\displaystyle -1$인 타원 위의 점을 구하자.

$\displaystyle \frac X4+\frac Y3\frac{dY}{dX}=0$에서 $\displaystyle -1=\frac{dY}{dX}=-\frac{3X}{4Y}\ \Leftrightarrow\ X=\frac43Y$과 타원의 방정식으로부터 접점의 좌표는 $\displaystyle (X,Y)=\left(-\frac{4\sqrt2}{\sqrt7},-\frac{3\sqrt2}{\sqrt7}\right)$이다.

(단계 2) 따라서, 지면까지의 거리는 접점 $\displaystyle (X,Y)=\left(-\frac{4\sqrt2}{\sqrt7},-\frac{3\sqrt2}{\sqrt7}\right)$에서 직선 $\displaystyle \ell$까지의 수직거리이므로 $\displaystyle \frac{\left|-\frac{3\sqrt2}{\sqrt7}-\frac{4\sqrt2}{\sqrt7}+4\sqrt2\right|}{\sqrt2}=4-\sqrt7$이다.