세종대 2015학년도 수시 자연계열 B 3번 해설

[문제 3] 아래 제시문 (가),(나),(다)를 읽고, 이를 이용하여 각 물음에 답하시오.

(가) 500원, 100원, 50원, 10원짜리 동전이 충분히 많이 있을 때, 동전의 개수를 최소한으로 하여 1370원을 지불하는 방법은 500원짜리 동전 2개, 100원짜리 동전 3개, 50원짜리 동전 1개, 10원짜리 동전 2개를 지불하는 것이다.

(나) $\displaystyle 1\,\mathrm g,2\,\mathrm g,2^2\,\mathrm g,\cdots,2^6\,\mathrm g$ 짜리 추가 각각 충분히 많이 있을 때, 양팔 저울에 추를 최소한으로 올려 $\displaystyle 73\,\mathrm g$ 짜리 물체와 평형을 이루게 하는 방법은 $\displaystyle 2^6\,\mathrm g$ 짜리 1개, $\displaystyle 2^3\,\mathrm g$ 짜리 1개, $\displaystyle 1\,\mathrm g$ 짜리 1개를 올리는 것이다.

(다) 어떤 실수 $\displaystyle x$ 를 십진법으로 나타낸 것이 15.401이라는 것은

$\displaystyle x=1\times10^1+5\times10^0+4\times\frac1{10^1}+1\times\frac1{10^3}$

이라는 것을 의미한다.

또, 실수 $\displaystyle x$ 를 십진법으로 나타낸 것이 순환소수 $\displaystyle 1.\dot2$ 라는 것은

$\displaystyle x=1\times10^0+\sum_{k=1}^{\infty}\left(2\times\frac1{10^k}\right)=1\times10^0+2\times\frac1{10^1}+2\times\frac1{10^2}+2\times\frac1{10^3}+\cdots$

과 같이 수렴하는 무한급수로 표현된다는 뜻이다.

같은 방법으로 양의 실수 $\displaystyle x$ 를 이진법으로 나타낸다는 것은 0 또는 1인 $\displaystyle a_i,b_j$ 에 대해

$\displaystyle x=(a_n\times2^n+\cdots+a_1\times2^1+a_0\times2^0)+\left(b_1\times\frac1{2^1}+b_2\times\frac1{2^2}+\cdots\right)$

일 때, $\displaystyle x=a_n\cdots a_1a_0.b_1b_2b_3\cdots_{(2)}$ 와 같이 나타내는 것이다. 첨자 $\displaystyle {}_{(2)}$ 는 십진법과 구분하여 이진법을 나타내기 위해 표시하는 것이다.

예를 들어, $\displaystyle 101.01_{(2)}$ 는 실수 $\displaystyle 2^2+1+\frac1{2^2}=\frac{21}4$ 을 의미한다.

(3-1) 제시문 (다)를 이용하여 어떤 실수 $\displaystyle a$ 를 이진법으로 나타낸 것이 $\displaystyle 0.0\dot1_{(2)}$ 이다. 실수 $\displaystyle a$ 를 기약분수로 나타내시오. (10점)

(3-2) 제시문 (가)와 (나)에서 조건을 만족하는 동전의 개수와 추의 개수를 구하는데 사용된 공통된 생각이 무엇인지 논리적으로 설명하시오. (10점)

(3-3) 실수 $\displaystyle \frac13$ 을 이진법으로 나타내면 순환소수가 된다. 우선, (3-2)의 결과를 바탕으로 이 순환소수를 소수점 아래 네 자리까지 구하시오. 또, $\displaystyle \frac13$ 을 이진법으로 나타낸 순환소수를 구하고, 근거를 들어 설명하시오. (10점)

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• 3-1번 문항

$\displaystyle 0.0\dot1=\frac1{2^2}+\frac1{2^3}+\frac1{2^4}+\cdots$ 는 첫째 항이 $\displaystyle \frac1{2^2}$ 이고 공비가 $\displaystyle \frac12$ 인 무한등비급수이므로

$\displaystyle a=\frac{\frac14}{1-\frac12}=\frac12$ 가 된다.

• 3-2번 문항

두 경우 모두 유한개의 $\displaystyle N_1>N_2>N_3>\cdots$ 값들을 이용해 $\displaystyle M$ 을 만들 때, $\displaystyle M$ 보다 작은 $\displaystyle N_i$ 중 가장 큰 값부터 $\displaystyle M$ 에서 빼기 시작해 0이 되도록 하면 사용하는 전체 $\displaystyle N_i$ 의 개수를 최소로 할 수 있다.

예를 들어, 제시문 (가)에서 $\displaystyle 500,100,50,10$ 에서 가장 큰 값인 500을 1370에서 두 번 뺄 수 있고,

$\displaystyle 1370-2\times500=370$ 보다 작은 값 중 가장 큰 100을 세 번 빼면,

$\displaystyle 1370-2\times500-3\times100=70$ 이 된다. 또, 70보다 작은 수 중 가장 큰 50을 빼면,

$\displaystyle 1370-2\times500-3\times100-50-2\times10=0$ 이 되어 원하는 결과를 얻을 수 있다.

제시문 (나)에서도 같은 방법으로 사용하는 추의 개수가 최소가 되게 할 수 있다.

• 3-3번 문항

(1) $\displaystyle \frac13$ 을 이진법으로 나타내라는 것은 $\displaystyle \frac12,\frac1{2^2},\frac1{2^3},\cdots$ 들의 합으로 나타내라는 것이고, 소수점 아래 네 자리까지 구하라는 의미는

$\displaystyle \frac12,\frac1{2^2},\frac1{2^3},\frac1{2^4}$ 중 합을 만들 때 사용되는 것을 구하라는 의미이므로 제시문 (가), (나)에 적용된 것과 같은 방법으로 구해보면, $\displaystyle \frac13$ 보다 작은 수 중 가장 큰 값은 $\displaystyle \frac1{2^2}$ , 또, $\displaystyle \frac13-\frac1{2^2}=\frac1{12}$ 보다 작은 수 중 가장 큰 값은 $\displaystyle \frac1{2^4}$ .

따라서 $\displaystyle \frac13=\frac1{2^2}+\frac1{2^4}+\cdots$ 가 되고, 이진법의 소수점 아래 네 자리까지 구하면 $\displaystyle 0.0101_{(2)}$ 이다.

(2) 소수점 아래 네 자리까지 구한 값으로부터 $\displaystyle \frac13$ 을 이진법으로 나타낸 수는 $\displaystyle 0.\dot0\dot1$ 이 되리라고 예상할 수 있다. 이를 확인하기 위해 $\displaystyle 0.\dot0\dot1$ 를 무한등비급수를 이용하여 기약분수로 나타내보면

$\displaystyle \frac{1/4}{1-1/4}=\frac13$ 이므로 $\displaystyle \frac13=0.\dot0\dot1$ 이다.

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