자연계열 B 3번

• 3-1번 문항

$\displaystyle 0.0\dot1=\frac1{2^2}+\frac1{2^3}+\frac1{2^4}+\cdots$는 첫째 항이 $\displaystyle \frac1{2^2}$이고 공비가 $\displaystyle \frac12$인 무한등비급수이므로

$\displaystyle a=\frac{\frac14}{1-\frac12}=\frac12$가 된다.

• 3-2번 문항

두 경우 모두 유한개의 $\displaystyle N_1>N_2>N_3>\cdots$값들을 이용해 $\displaystyle M$을 만들 때, $\displaystyle M$보다 작은 $\displaystyle N_i$중 가장 큰 값부터 $\displaystyle M$에서 빼기 시작해 0이 되도록 하면 사용하는 전체 $\displaystyle N_i$의 개수를 최소로 할 수 있다.

예를 들어, 제시문 (가)에서 $\displaystyle 500,100,50,10$에서 가장 큰 값인 500을 1370에서 두 번 뺄 수 있고,

$\displaystyle 1370-2\times500=370$보다 작은 값 중 가장 큰 100을 세 번 빼면,

$\displaystyle 1370-2\times500-3\times100=70$이 된다. 또, 70보다 작은 수 중 가장 큰 50을 빼면,

$\displaystyle 1370-2\times500-3\times100-50-2\times10=0$이 되어 원하는 결과를 얻을 수 있다.

제시문 (나)에서도 같은 방법으로 사용하는 추의 개수가 최소가 되게 할 수 있다.

• 3-3번 문항

(1) $\displaystyle \frac13$을 이진법으로 나타내라는 것은 $\displaystyle \frac12,\frac1{2^2},\frac1{2^3},\cdots$들의 합으로 나타내라는 것이고, 소수점 아래 네 자리까지 구하라는 의미는

$\displaystyle \frac12,\frac1{2^2},\frac1{2^3},\frac1{2^4}$중 합을 만들 때 사용되는 것을 구하라는 의미이므로 제시문 (가), (나)에 적용된 것과 같은 방법으로 구해보면, $\displaystyle \frac13$보다 작은 수 중 가장 큰 값은 $\displaystyle \frac1{2^2}$, 또, $\displaystyle \frac13-\frac1{2^2}=\frac1{12}$보다 작은 수 중 가장 큰 값은 $\displaystyle \frac1{2^4}$.

따라서 $\displaystyle \frac13=\frac1{2^2}+\frac1{2^4}+\cdots$가 되고, 이진법의 소수점 아래 네 자리까지 구하면 $\displaystyle 0.0101_{(2)}$이다.

(2) 소수점 아래 네 자리까지 구한 값으로부터 $\displaystyle \frac13$을 이진법으로 나타낸 수는 $\displaystyle 0.\dot0\dot1$이 되리라고 예상할 수 있다. 이를 확인하기 위해 $\displaystyle 0.\dot0\dot1$를 무한등비급수를 이용하여 기약분수로 나타내보면

$\displaystyle \frac{1/4}{1-1/4}=\frac13$이므로 $\displaystyle \frac13=0.\dot0\dot1$이다.