자연계열 A 3번

실수에서 정의된 함수 $\displaystyle f$가 모든 $\displaystyle x$에 대해 $\displaystyle f(-x)=-f(x)$를 만족하면 원점에 대해 점대칭인 함수가 된다. 이는 아래 [그림 1]에서 보듯이 두 점 $\displaystyle (x,f(x))$와 $\displaystyle (-x,f(-x))$의 중점이 $\displaystyle (0,0)$이 된다는 것과 같은 의미이다.

같은 방법으로 함수 $\displaystyle f$가 점 $\displaystyle (a,b)$에 대해 점대칭인 함수라는 말은 두 점 $\displaystyle (a-x,f(a-x))$와 $\displaystyle (a+x,f(a+x))$의 중점이 $\displaystyle (a,b)$라는 뜻이므로 모든 $\displaystyle x$에 대해

$\displaystyle f(a+x)+f(a-x)=2b\quad\cdots\cdots\cdots\cdots$①

를 만족한다는 것을 알 수 있다.

또는, 점 $\displaystyle (a,b)$에 대해 점대칭인 함수 $\displaystyle y=f(x)$를 [그림 2]에서처럼 $\displaystyle x$축으로 $\displaystyle -a$만큼, $\displaystyle y$축으로 $\displaystyle -b$만큼 평행이동 시켜 얻은 함수를 $\displaystyle g(x)=f(x+a)-b$라 하자. 이때 $\displaystyle g(x)$가 원점에 대해 점대칭인 함수가 된다는 사실을 이용하여, $\displaystyle g(-x)=-g(x)$로부터 식 ①을 얻을 수도 있다.