자연계열 A 2번

• 2-1번 문항

$\displaystyle (E-N)(E+N+N^2)=E-N^3=E$이다. 그러므로 역행렬의 정의에 의해 $\displaystyle E-N$의 역행렬은 $\displaystyle E+N+N^2$이다.

• 2-2번 문항

$\displaystyle (AN)^3=A^3N^3=O$이므로 (2-1)의 결과에 의해 $\displaystyle E-AN$의 역행렬은

$\displaystyle E+AN+(AN)^2=E+AN+A^2N^2$이다.

• 2-3번 문항

$\displaystyle N$이 역행렬 $\displaystyle N^{-1}$을 가지면 $\displaystyle N^3=O$에서

$\displaystyle N^{-1}N^3=N^2=O$이고 $\displaystyle N^{-1}N^2=N=O$이 되어 모순이다. 따라서 $\displaystyle N$은 역행렬을 가지지 않는다. 그러므로 $\displaystyle ac-b=0$이다.

• 2-4번 문항

(2-3)에서 $\displaystyle b=ac$이므로 $\displaystyle N=\begin{pmatrix}a&1\\ac&c\end{pmatrix}$이고 $\displaystyle N^2=\begin{pmatrix}a&1\\ac&c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&1\\ac&c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a^2+ac&a+c\\a^2c+ac^2&ac+c^2\end{pmatrix}=(a+c)N$이다. 그리고 $\displaystyle O=N^3=(a+c)N^2=(a+c)^2N$에서 $\displaystyle a+c=0$이다. 그러므로 $\displaystyle N^2=O$이다.