자연계열 B 1번

세종대 2015학년도 수시 자연계열 B 1번 · mathesis.kr/archive/sejong/2015su/jayeonb_1

[문제 1] 아래 글을 읽고, 각 물음에 답하시오.

아래 그림과 같이 반지름이 같은 두 원이 서로의 중심을 지나는 단면을 갖도록 튜브를 만들 때, 주입해야 할 공기의 양을 구하고 싶다.

가로와 세로의 길이가 $\displaystyle 62\,\mathrm{cm}$ 이고, 높이가 $\displaystyle 18\,\mathrm{cm}$ 인 직육면체의 상자에 꼭 맞게 들어가도록 튜브를 만들 때, 주입해야 할 공기의 부피( $\displaystyle \mathrm{cm}^3$ )를 다음 단계에 따라 구하시오.

(1-1) 문제에서 주어진 튜브의 부피는 교과서에서 배운 회전체의 부피를 이용하여 구할 수 있다. 튜브를 $\displaystyle x$ 축에 대한 회전체로 이해할 수 있도록, 튜브의 단면을 좌표평면의 제1사분면에 그리시오. 또, 그려진 두 원의 중심 사이의 거리와 원의 중심에서 $\displaystyle x$ 축까지의 최단거리를 구하시오. (10점)

(1-2) 양의 상수 $\displaystyle c$ 에 대해, 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속함수 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle 0\le f(x)\le c$ 이다. 두 직선 $\displaystyle x=a,x=b$ 와 두 함수 $\displaystyle y=c+f(x),y=c-f(x)$ 의 그래프로 둘러싸인 영역을 $\displaystyle x$ 축 둘레로 회전시킨 입체의 부피를 $\displaystyle \int_a^bf(x)\,dx$ 를 이용하여 나타내시오. (10점)

(1-3) (1-1)과 (1-2)의 결과를 이용하여, 튜브에 주입해야 할 공기의 부피를 구하시오. (10점)

해설강의 준비중

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• 1-1번 문항

두 원의 중심거리는 6이고 원의 중심에서 $\displaystyle x$ 축까지의 최단거리는 25이다.

• 1-2번 문항

회전한 입체의 부피는 $\displaystyle \pi\int_a^b(c+f(x))^2\,dx-\pi\int_a^b(c-f(x))^2\,dx$ 이다. 이것을 계산하면 답은 $\displaystyle 4c\pi\int_a^bf(x)\,dx$ 이다.

• 1-3번 문항

(1-2)의 답에서 나오는 $\displaystyle \int_a^bf(x)\,dx$ 는 튜브의 단면의 면적의 반이고 $\displaystyle 2\int_a^bf(x)\,dx$ 는 튜브의 단면의 면적이 된다. 그리고 $\displaystyle c=25$ 이다. 이제 튜브의 단면의 면적의 반을 구하자.

$\displaystyle \int_a^bf(x)\,dx=\pi\times6^2\times\frac23+9\sqrt3=24\pi+9\sqrt3$ 이므로 답은

$\displaystyle 4c\pi\int_a^bf(x)\,dx=100\pi(24\pi+9\sqrt3)=2400\pi^2+900\sqrt3\pi$

이다.

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