자연계열 B 2번

• 2-1번 문항

$\displaystyle h(x)=\frac{\sin x}{\sqrt3}-\frac x{\sqrt3}$이라 할 때, 임의의 실수 $\displaystyle c$에 대하여 $\displaystyle h(a)<c<h(b)$인 실수 $\displaystyle a$와 $\displaystyle b$가 존재한다. 따라서 중간값 정리에 의하여 방정식 $\displaystyle h(x)=c$의 해가 존재한다.

$\displaystyle h\prime(x)=f\prime(x)-\frac1{\sqrt3}=\frac1{\sqrt3}(\cos x-1)\le0$

이므로 $\displaystyle h(x)$가 (상수 함수 아닌) 감소 함수임을 알 수 있다. 따라서 방정식 $\displaystyle h(x)=0$의 해는 유일하다.Correction. (2-1) 주답안 결론의 $\displaystyle h(x)=0$은 $\displaystyle h(x)=c$의 오기이다. 바로 앞에서 임의의 실수 $\displaystyle c$에 대하여 $\displaystyle h(x)=c$의 해가 존재함을 보였으며, 이어지는 감소성 논증도 그 해의 유일성을 설명한다. 원문 표기는 그대로 실었다.

• 2-2번 문항

만약 $\displaystyle L(x_1,x_2)>\frac1{\sqrt3}$을 만족하는 $\displaystyle x_1,x_2$가 존재한다면,

평균값 정리에 의하여,

$\displaystyle f\prime(t)=\frac{\cos t}{\sqrt3}>\frac1{\sqrt3}$

을 만족하는 점 $\displaystyle t$가 구간 $\displaystyle (x_1,x_2)$안에 존재해야 하는데, $\displaystyle \cos x$값은 항상 1보다 작으므로 모순이다.Correction. (2-2)의 “항상 1보다 작으므로”는 “항상 1 이하이므로”의 오기이다. $\displaystyle \cos 0=1$이며, 앞에서 얻은 $\displaystyle \cos t>1$은 $\displaystyle \cos t\le 1$과 모순된다. 원문 표기는 그대로 실었다.

• 2-3번 문항

구간 $\displaystyle (0,\pi)$에서 $\displaystyle g(x)=L(0,x)=\frac{\sin x}{\sqrt3x}$라 하고, $\displaystyle g(0)=\frac1{\sqrt3}$이라 하면, $\displaystyle g(x)$가 닫힌 구간 $\displaystyle [0,\pi]$에서 연속임을 알 수 있다.

$\displaystyle 0(=g(\pi))<m<\frac1{\sqrt3}(=g(0))$이면 중간값 정리에 의하여 $\displaystyle g(x)=L(0,x)=m$을 만족하는 $\displaystyle x$가 열린 구간 $\displaystyle (0,\pi)$에 존재함을 알 수 있다.

• 2-4번 문항

함수의 정의로부터 $\displaystyle y$축에 평행한 직선이 회전 이동한 그래프와 두 점에서 만나지 않는다는 조건을 사용해야 한다. (2-1), (2-2), (2-3)의 결과로부터, 문제에서 구하고자 하는 각 $\displaystyle \theta$의 최댓값 $\displaystyle \theta_m$은 방정식 $\displaystyle \tan\left(\frac\pi2-\theta_m\right)=\frac1{\sqrt3}$을 만족하므로 $\displaystyle \theta_m=\frac\pi3$를 얻는다.