자연계열 A 1번

$\displaystyle \int_0^1\sqrt{1+\{f\prime(t)\}^2}\,dt=\int_0^1\sqrt{1+\left(\frac{e^t-e^{-t}}2\right)^2}\,dt$

$\displaystyle =\int_0^1\frac{e^t+e^{-t}}2\,dt$

$\displaystyle =\frac{e-e^{-1}}2=\frac12\left(e-\frac1e\right)$

$\displaystyle \int_0^x\sqrt{1+\{f\prime(t)\}^2}\,dt=\int_0^x\sqrt{1+\left(\frac{e^t-e^{-t}}2\right)^2}\,dt=\int_0^x\frac{e^t+e^{-t}}2\,dt=\frac{e^x-e^{-x}}2=\frac12\left(e^x-\frac1{e^x}\right)$

$\displaystyle \frac12(e^x-e^{-x})=3$으로부터 $\displaystyle e^{2x}-6e^x-1=0$이므로 $\displaystyle x=\ln(3+\sqrt{10})$이다.

이 때, $\displaystyle y=f(x)$에 대입하면 $\displaystyle y=\sqrt{10}$. 따라서 $\displaystyle t=0$일 때, 점 Q의 좌표는 $\displaystyle (\ln(3+\sqrt{10}),\sqrt{10})$이다.

(1-3) 시각 $\displaystyle t$에서 점 $\displaystyle (0,1)$과 점 P 사이의 곡선의 길이는 $\displaystyle \int_0^tu(z)\,dz=2t^3-4t^2+14t$이다.

시각 $\displaystyle t$에서 점 $\displaystyle (0,1)$과 점 Q 사이의 곡선의 길이는$\displaystyle 3+\int_0^tv(z)\,dz=t^3+2t^2+5t+3$이다.

$\displaystyle \int_0^tu(z)\,dz=3+\int_0^tv(z)\,dz$로부터 $\displaystyle t^3-6t^2+9t-3=0$이다.

$\displaystyle g(t)=t^3-6t^2+9t-3$라 하면, $\displaystyle g\prime(t)=3(t-1)(t-3)$이다.$\displaystyle g(t)$는 3차 함수이고 $\displaystyle g(0)=-3$, $\displaystyle g(1)=1$, $\displaystyle g(3)=-3$이므로, $\displaystyle t\ge0$에서 점 P와 Q는 3번 만난다.