자연계열 A 3번

(3-1) $\displaystyle \sin(\angle\mathrm{CAB})=\sqrt{1-\cos^2(\angle\mathrm{CAB})}=\sqrt{\frac23}=\frac{\sqrt6}3$이므로 삼각형 ABC의 넓이는 다음과 같다.

$\displaystyle \frac12\overline{\mathrm{AB}}\cdot\overline{\mathrm{AC}}\sin(\angle\mathrm{CAB})=8\sqrt6$

(3-2) 삼수선의 정리에 의하여 선분 AR는 선분 DR에 수직이므로 다음을 얻는다.

$\displaystyle \overline{\mathrm{AR}}=\overline{\mathrm{AD}}\cos(\angle\mathrm{DAC})=3\sqrt2\cdot\frac{\sqrt6}3=2\sqrt3$

(3-3) 삼수선의 정리에 의하여 선분 AQ는 선분 DQ에 수직이므로 다음을 얻는다.$\displaystyle \overline{\mathrm{AQ}}=\overline{\mathrm{AD}}\cos(\angle\mathrm{DAB})=3\sqrt2\alpha$

$\displaystyle \overline{\mathrm{AS}}=\frac{\overline{\mathrm{AR}}}{\cos(\angle\mathrm{CAB})}=6,$

$\displaystyle \overline{\mathrm{RS}}=\sqrt{\overline{\mathrm{AS}}^2-\overline{\mathrm{AR}}^2}=2\sqrt6,$

에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=3(\sqrt2-\alpha)$이다.

따라서 $\displaystyle V=\frac13\cdot8\sqrt6\cdot\overline{\mathrm{DP}}=4\sqrt{15}$를 풀어 $\displaystyle \overline{\mathrm{DP}}=\frac{3\sqrt{10}}4$을 얻는다.

$\displaystyle (\overline{\mathrm{DP}})^2=(\overline{\mathrm{DQ}})^2-9(\sqrt2-\alpha)^2=9(2\sqrt2\alpha-3\alpha^2)$

이다. 근의 공식을 이용하여 $\displaystyle \left(\frac{3\sqrt{10}}4\right)^2=(\overline{\mathrm{DP}})^2=9(2\sqrt2\alpha-3\alpha^2)$에서 $\displaystyle \alpha=\frac{\sqrt2}4$ 또는 $\displaystyle \alpha=\frac{5\sqrt2}{12}$를 얻는다.

그러므로 점 P가 삼각형 ABC의 내부에 있기 위하여서는 $\displaystyle \cos(\angle\mathrm{DAB})=\alpha>\frac{\sqrt2}3$이어야 하고 $\displaystyle \alpha=\frac{5\sqrt2}{12}$를 얻는다.