수리논술, 이게 다다.

자연계열 A 3번

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세종대 2017학년도 수시 자연계열 A 3번 · mathesis.kr/archive/sejong/2017su/jayeona_3

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[문제 3] 아래 글을 읽고, 각 물음에 답하시오.

그림과 같은 사면체 ABCD에 대하여

AB‾=8,AC‾=6,AD‾=32,\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=8,\quad\overline{\mathrm{AC}}=6,\quad\overline{\mathrm{AD}}=3\sqrt2,

cos⁡(∠DAC)=63,cos⁡(∠CAB)=33,cos⁡(∠DAB)=α\displaystyle \cos(\angle\mathrm{DAC})=\frac{\sqrt6}3,\quad\cos(\angle\mathrm{CAB})=\frac{\sqrt3}3,\quad\cos(\angle\mathrm{DAB})=\alpha

이다. 점 D에서 밑면 ABC에 내린 수선의 발을 P, 점 P에서 변 AB에 내린 수선의 발을 Q, 점 P에서 변 AC에 내린 수선의 발을 R라 하자. (단, 점 P는 삼각형 ABC의 내부에 있다.)

사면체 ABCD와 수선의 발 P Q R

(3-1) 삼각형 ABC의 넓이를 구하시오. (60점)

(3-2) 선분 AR의 길이를 구하시오. (60점)

(3-3) 선분 PQ의 길이를 α\displaystyle \alpha의 식으로 나타내시오. (60점)

(3-4) 사면체 ABCD의 부피가 415\displaystyle 4\sqrt{15}일 때, α\displaystyle \alpha의 값을 구하시오. (60점)

해설강의 준비중

세종대 2017학년도 수시 자연계열 A 3번 · mathesis.kr/archive/sejong/2017su/jayeona_3

[문제 3]

사면체의 수선과 보조점 S
30점 · sin⁡(∠CAB)=63\displaystyle \sin(\angle\mathrm{CAB})=\frac{\sqrt6}3

(3-1) sin⁡(∠CAB)=1−cos⁡2(∠CAB)=23=63\displaystyle \sin(\angle\mathrm{CAB})=\sqrt{1-\cos^2(\angle\mathrm{CAB})}=\sqrt{\frac23}=\frac{\sqrt6}3이므로 삼각형 ABC의 넓이는 다음과 같다.

60점 · ABC의 넓이 86\displaystyle 8\sqrt6

12AB‾⋅AC‾sin⁡(∠CAB)=86\displaystyle \frac12\overline{\mathrm{AB}}\cdot\overline{\mathrm{AC}}\sin(\angle\mathrm{CAB})=8\sqrt6

+10점 · 삼수선의 정리를 언급하면

(3-2) 삼수선의 정리에 의하여 선분 AR는 선분 DR에 수직이므로 다음을 얻는다.

+50점 · AR‾=23\displaystyle \overline{\mathrm{AR}}=2\sqrt3

AR‾=AD‾cos⁡(∠DAC)=32⋅63=23\displaystyle \overline{\mathrm{AR}}=\overline{\mathrm{AD}}\cos(\angle\mathrm{DAC})=3\sqrt2\cdot\frac{\sqrt6}3=2\sqrt3

+10점 · AQ‾=32α\displaystyle \overline{\mathrm{AQ}}=3\sqrt2\alpha

(3-3) 삼수선의 정리에 의하여 선분 AQ는 선분 DQ에 수직이므로 다음을 얻는다.AQ‾=AD‾cos⁡(∠DAB)=32α\displaystyle \overline{\mathrm{AQ}}=\overline{\mathrm{AD}}\cos(\angle\mathrm{DAB})=3\sqrt2\alpha

선분 RP의 연장선이 선분 AB 또는 그 연장선과 만나는 점을 S라 하자.(위 그림 참조) 그러면

+20점 · AS‾=6\displaystyle \overline{\mathrm{AS}}=6 또는 QS‾=6−32α\displaystyle \overline{\mathrm{QS}}=6-3\sqrt2\alpha

AS‾=AR‾cos⁡(∠CAB)=6,\displaystyle \overline{\mathrm{AS}}=\frac{\overline{\mathrm{AR}}}{\cos(\angle\mathrm{CAB})}=6,

+10점 · RS‾=26\displaystyle \overline{\mathrm{RS}}=2\sqrt6

RS‾=AS‾2−AR‾2=26,\displaystyle \overline{\mathrm{RS}}=\sqrt{\overline{\mathrm{AS}}^2-\overline{\mathrm{AR}}^2}=2\sqrt6,

QS‾=AS‾−AQ‾=6−32α\displaystyle \overline{\mathrm{QS}}=\overline{\mathrm{AS}}-\overline{\mathrm{AQ}}=6-3\sqrt2\alpha

이다. (결국 S는 위 그림과 같이 선분 AB 위에 있음을 알 수 있다.) △ASR\displaystyle \triangle\mathrm{ASR}와 △PSQ\displaystyle \triangle\mathrm{PSQ}는 닮은 삼각형이므로 닮음비를 이용하면

PQ‾:6−32α=23:26\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}:6-3\sqrt2\alpha=2\sqrt3:2\sqrt6

60점

에서 PQ‾=3(2−α)\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=3(\sqrt2-\alpha)이다.

(3-4) 주어진 사면체는 밑면이 △ABC\displaystyle \triangle\mathrm{ABC}이고 높이가 DP‾\displaystyle \overline{\mathrm{DP}}인 삼각뿔이므로 부피 V\displaystyle V는 다음과 같다.

V=13⋅△ABC⋅DP‾=13⋅86⋅DP‾\displaystyle V=\frac13\cdot\triangle\mathrm{ABC}\cdot\overline{\mathrm{DP}}=\frac13\cdot8\sqrt6\cdot\overline{\mathrm{DP}}

+10점

따라서 V=13⋅86⋅DP‾=415\displaystyle V=\frac13\cdot8\sqrt6\cdot\overline{\mathrm{DP}}=4\sqrt{15}를 풀어 DP‾=3104\displaystyle \overline{\mathrm{DP}}=\frac{3\sqrt{10}}4을 얻는다.

△DPQ\displaystyle \triangle\mathrm{DPQ}에 피타고라스 정리를 적용하면

(DP‾)2=(DQ‾)2−(PQ‾)2=(DQ‾)2−9(2−α)2\displaystyle (\overline{\mathrm{DP}})^2=(\overline{\mathrm{DQ}})^2-(\overline{\mathrm{PQ}})^2=(\overline{\mathrm{DQ}})^2-9(\sqrt2-\alpha)^2

을 얻고, △DAQ\displaystyle \triangle\mathrm{DAQ}에 피타고라스 정리를 적용하면

(DQ‾)2=(AD‾)2−(AQ‾)2=(32)2−(32α)2=18(1−α2)\displaystyle (\overline{\mathrm{DQ}})^2=(\overline{\mathrm{AD}})^2-(\overline{\mathrm{AQ}})^2=(3\sqrt2)^2-(3\sqrt2\alpha)^2=18(1-\alpha^2)

이다. 따라서

+20점 · (DP‾)2=9(22α−3α2)\displaystyle (\overline{\mathrm{DP}})^2=9(2\sqrt2\alpha-3\alpha^2)

(DP‾)2=(DQ‾)2−9(2−α)2=9(22α−3α2)\displaystyle (\overline{\mathrm{DP}})^2=(\overline{\mathrm{DQ}})^2-9(\sqrt2-\alpha)^2=9(2\sqrt2\alpha-3\alpha^2)

+10점

이다. 근의 공식을 이용하여 (3104)2=(DP‾)2=9(22α−3α2)\displaystyle \left(\frac{3\sqrt{10}}4\right)^2=(\overline{\mathrm{DP}})^2=9(2\sqrt2\alpha-3\alpha^2)에서 α=24\displaystyle \alpha=\frac{\sqrt2}4 또는 α=5212\displaystyle \alpha=\frac{5\sqrt2}{12}를 얻는다.

그런데 cos⁡(∠DAB)=23\displaystyle \cos(\angle\mathrm{DAB})=\frac{\sqrt2}3일 때,

(DP‾)2=9(22⋅23−3(23)2)=6\displaystyle (\overline{\mathrm{DP}})^2=9\left(2\sqrt2\cdot\frac{\sqrt2}3-3\left(\frac{\sqrt2}3\right)^2\right)=6

이므로 DP‾=6\displaystyle \overline{\mathrm{DP}}=\sqrt6이고, DR‾=AD‾⋅sin⁡(∠DAC)=6\displaystyle \overline{\mathrm{DR}}=\overline{\mathrm{AD}}\cdot\sin(\angle\mathrm{DAC})=\sqrt6이므로 P=R\displaystyle \mathrm P=\mathrm R이다.

60점 · α=24\displaystyle \alpha=\frac{\sqrt2}4 또는 α=5212\displaystyle \alpha=\frac{5\sqrt2}{12}를 얻고 α=24\displaystyle \alpha=\frac{\sqrt2}4인 경우 점 P가 삼각형 ABC의 외부에 있다고 언급하고 α=5212\displaystyle \alpha=\frac{5\sqrt2}{12}를 얻으면

그러므로 점 P가 삼각형 ABC의 내부에 있기 위하여서는 cos⁡(∠DAB)=α>23\displaystyle \cos(\angle\mathrm{DAB})=\alpha>\frac{\sqrt2}3이어야 하고 α=5212\displaystyle \alpha=\frac{5\sqrt2}{12}를 얻는다.

(3-2) AR‾=23\displaystyle \overline{\mathrm{AR}}=2\sqrt3를 얻지 못했지만, AR‾=AD‾cos⁡(∠DAC)\displaystyle \overline{\mathrm{AR}}=\overline{\mathrm{AD}}\cos(\angle\mathrm{DAC})식이 있으면: +10점

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