자연계열 B 1번

[문제 1]

준식$\displaystyle r_1(t)^2=\int_0^t\left(x-\frac13\right)r_1(x)\,dx+\int_0^1r_1(x)\,dx$로부터 $\displaystyle r_1(0)^2=\int_0^1r_1(x)\,dx$인데,

(1-3) 시각 $\displaystyle t$에서 원 $\displaystyle C_2$의 중심 $\displaystyle \mathrm O_2$의 좌표는

$\displaystyle \mathrm O_2=\left(\sqrt{(r_1(t)+r_2(t))^2-(r_1(t)-r_2(t))^2},r_2(t)\right)=\left(2\sqrt{r_1(t)r_2(t)},r_2(t)\right)$이다.

접점 P는 선분 $\displaystyle \mathrm O_1\mathrm O_2$를 $\displaystyle r_1(t):r_2(t)$로 내분하는 점이므로, 점 P의 좌표는

$\displaystyle \left(\frac{r_1\cdot2\sqrt{r_1r_2}+r_2\cdot0}{r_1+r_2},\frac{r_1r_2+r_2r_1}{r_1+r_2}\right)=\left(\frac{2r_1\sqrt{r_1r_2}}{r_1+r_2},\frac{2r_1r_2}{r_1+r_2}\right)$이다.

직선 $\displaystyle \ell$은 점 P에서 원 $\displaystyle C_1$에 접하고, $\displaystyle C_1:x^2+(y-r_1)^2=r_1^2$이므로,

$\displaystyle \mathrm P\left(\frac{2r_1\sqrt{r_1r_2}}{r_1+r_2},\frac{2r_1r_2}{r_1+r_2}\right)=\mathrm P(a,b)$라 할 때, P에서 $\displaystyle C_1$의 접선의 식은

$\displaystyle \ell:ax+(b-r_1)(y-r_1)=r_1^2$이다.

(원 $\displaystyle x^2+y^2=r^2$ 위의 점 $\displaystyle (x_1,y_1)$에서의 접선 공식 $\displaystyle x_1x+y_1y=r^2$를 평행 이동하여 얻을 수 있다.)

Q의 좌표를 $\displaystyle (q,0)$이라 하면, $\displaystyle aq+(b-r_1)(0-r_1)=r_1^2$이 되어,

$\displaystyle q\prime(t)=\frac{r_1\prime(t)r_2(t)+r_1(t)r_2\prime(t)}{2\sqrt{r_1(t)r_2(t)}}$이고 $\displaystyle r_1(2)=\frac53$, $\displaystyle r_2(2)=\frac15$, $\displaystyle r_1\prime(2)=\frac56$, $\displaystyle r_2\prime(2)=-\frac4{25}$이므로,