자연계열 B 3번

(3-1) $\displaystyle a=f(0)=2$에서 $\displaystyle a=2$이다.

$\displaystyle f\prime(x)=abe^{bx}=5f(x)=5ae^{bx}$에서 $\displaystyle b=5$이다.

(3-2) 산술평균과 기하평균과의 관계를 이용하면$\displaystyle p(x)q(x)\le\frac{\{p(x)\}^2+\{q(x)\}^2}2=\frac42=2$

따라서 $\displaystyle \int_0^1p(x)q(x)\,dx\le\int_0^12\,dx=2$인데,

$\displaystyle p(x)$와 $\displaystyle q(x)$가 모두 상수함수 $\displaystyle \sqrt2$이면, 이 식의 등호가 성립하며, $\displaystyle p(x)$와 $\displaystyle q(x)$는 문제의 조건을 모두 만족시킨다. 따라서 $\displaystyle \int_0^1p(x)q(x)\,dx$의 최댓값은 2이다.

(3-3) $\displaystyle 0\le x\le2$인 임의의 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle \{g(x)-\sqrt{x^3+1}\}^2\ge0$임을 이용하면$\displaystyle 2g(x)\sqrt{x^3+1}\le\{g(x)\}^2+x^3+1\qquad\cdots\text{(1)}$

$\displaystyle \int_0^2g(x)\sqrt{x^3+1}\,dx\le6\qquad\cdots\text{(3)}$

일 때 성립하고 이 때 식 (2), (3)의 등호도 모두 성립한다. 또한 함수 $\displaystyle g(x)=\sqrt{x^3+1}$는 조건 (가), (나)를 모두 만족시킨다. 따라서 $\displaystyle \int_0^2g(x)\sqrt{x^3+1}\,dx$의 최댓값은 6이다.

$\displaystyle \int_0^k12h(x)h\prime(x)\,dx\le\int_0^k(9\{h(x)\}^2+4\{h\prime(x)\}^2)\,dx=6\qquad\cdots\text{(4)}$

$\displaystyle \{h(k)\}^2\le\frac{30}6=5\qquad\cdots\text{(5)}$

$\displaystyle h(x)=2e^{\frac32x}$

라 하면 식 (6)이 성립하고, $\displaystyle h(x)$와 $\displaystyle h\prime(x)$를 식 (다)에 대입하여 $\displaystyle e^{3k}=\frac54$를 얻고, 이를 풀어 $\displaystyle k=\frac13\ln\frac54$를 얻는다.

이 때, $\displaystyle h(k)=\sqrt5$이다. 이 함수 $\displaystyle h(x)=2e^{\frac32x}$와 실수 $\displaystyle k=\frac13\ln\frac54$는 문제의 조건을 모두 만족시키므로 $\displaystyle h(k)$의 최댓값은 $\displaystyle \sqrt5$이다.