자연계열 A 2번

세종대 2017학년도 수시 자연계열 A 2번 · mathesis.kr/archive/sejong/2017su/jayeona_2

[문제 2] 아래 글을 읽고, 각 물음에 답하시오.

어느 공장에서 생산되는 제품의 불량률은 이 제품을 생산하는 기계의 작동상태에 따라 다르다. 이 기계가 정상적으로 작동할 경우 불량률은 $\displaystyle 0.01$ 이고, 정상적으로 작동하지 않을 경우 불량률은 $\displaystyle 0.10$ 이라고 한다. 이 기계의 작동상태를 관리하기 위하여 관리자는 기계에 센서를 설치하였다. 이 센서에 빨간 신호가 켜지면 기계의 작동상태가 정상적이지 않다는 것을 나타낸다.

이 기계가 정상적으로 작동하지 않는 경우 센서에 빨간 신호가 켜지는 확률을 $\displaystyle p_1$ , 기계가 정상적으로 작동하는 경우 센서에 빨간 신호가 켜지지 않는 확률을 $\displaystyle p_2$ , 센서에 빨간 신호가 켜졌을 때 실제로 이 기계가 정상적으로 작동하고 있지 않을 확률을 $\displaystyle p_3$ 이라 하자. 즉, $\displaystyle A$ 를 이 기계가 정상적으로 작동하지 않을 사건이라 하고 $\displaystyle B$ 를 이 센서에 빨간 신호가 켜지는 사건이라 할 때,

$\displaystyle p_1=\mathrm P(B\mid A)$ , $\displaystyle p_2=\mathrm P(B^C\mid A^C)$ , $\displaystyle p_3=\mathrm P(A\mid B)$ 이다.

이 기계가 정상적으로 작동하지 않을 확률 $\displaystyle \mathrm P(A)$ 는 $\displaystyle 0.01$ 로 일정하며, 현재 $\displaystyle p_1=0.80,\ p_2=0.90$ 이라고 한다.

(2-1) 이 기계에서 생산되는 제품 중에서 임의로 한 개를 골랐을 때 이 제품이 불량품일 확률을 구하시오. (60점)

(2-2) 확률 $\displaystyle p_3$ 을 구하시오. (60점)

(2-3) 확률 $\displaystyle p_3$ 은 (2-2)에서 구한 값보다 작아지지 않으면서, $\displaystyle p_2$ 는 낮추고 $\displaystyle p_1$ 을 최대한 높이고자 한다. 확률 $\displaystyle p_1$ 은 $\displaystyle 0.01$ 증가할 때마다 100만원씩의 추가 비용이 발생하며, $\displaystyle p_2$ 는 $\displaystyle 0.01$ 감소할 때마다 50만원씩의 비용이 절약된다. 추가로 드는 비용이 1500만원을 넘지 않는 범위 내에서 $\displaystyle p_1$ 의 최댓값을 구하시오. (60점)

해설강의 준비중

세종대 2017학년도 수시 자연계열 A 2번 · mathesis.kr/archive/sejong/2017su/jayeona_2

[문제 2]

(2-1) $\displaystyle D$ 를 불량품이 추출될 사건이라고 하면 구하는 확률은 $\displaystyle P(D)$ 이다.

10점 ·

\displaystyle P(D)=P(D\cap A)+P(D\cap A^C)

만 있으면

$\displaystyle P(D)=P(D\cap A)+P(D\cap A^C)$

30점 ·

\displaystyle P(D)=P(D\mid A)P(A)+P(D\mid A^C)P(A^C)

만 있으면

$\displaystyle =P(D\mid A)P(A)+P(D\mid A^C)P(A^C)$

50점 ·

\displaystyle 0.1\times0.01+0.01\times0.99

또는

\displaystyle \frac{10+99}{100+9900}

또는 이와 동등한 식만 있으면

$\displaystyle =0.1\times0.01+0.01\times0.99$

60점 ·

\displaystyle \frac{109}{10000}

또는

\displaystyle 0.0109

$\displaystyle =\frac{109}{10000}=0.0109$

(2-2)

10점 ·

\displaystyle p_3=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}

만 있으면

$\displaystyle p_3=P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

30점 ·

\displaystyle p_3=\frac{P(B\mid A)P(A)}{P(B\mid A)P(A)+P(B\mid A^C)P(A^C)}

만 있으면

$\displaystyle =\frac{P(B\mid A)P(A)}{P(B\mid A)P(A)+P(B\mid A^C)P(A^C)}$

50점 ·

\displaystyle p_3=\frac{0.8\times0.01}{0.8\times0.01+0.1\times0.99}

또는

\displaystyle p_3=\frac{80}{80+990}

또는 이와 동등한 식만 있으면

$\displaystyle =\frac{0.8\times0.01}{0.8\times0.01+0.1\times0.99}$

60점 ·

\displaystyle p_3=\frac8{107}

$\displaystyle =\frac8{107}\approx0.075$

(2-3)

$\displaystyle x$ 를 $\displaystyle p_1$ 의 증가량이라 하고 $\displaystyle y$ 를 $\displaystyle p_2$ 의 감소량이라고 할 때 다음 두 조건을 만족하는 $\displaystyle x$ 를 구한다.

$\displaystyle 100x-50y\le15\quad\left(\Leftarrow\frac{100\text{만원}}{0.01}\times x-\frac{50\text{만원}}{0.01}\times y\le1500\text{만원}\right)\quad\cdots\text{(1)}$

$\displaystyle \frac{(0.8+x)\times0.01}{(0.8+x)\times0.01+(0.1+y)\times0.99}\ge\frac8{107}\quad\cdots\text{(2)}$

식 (2)를 풀면 $\displaystyle y\le\frac x8$ 이고 이를 식 (1)과 연립하면 $\displaystyle x\le\frac4{25}=0.16$ 을 만족해야 한다.

따라서, 주어진 조건 하에서 최대한 높일 수 있는 $\displaystyle p_1$ 의 값은 $\displaystyle 0.8+0.16=0.96$ 이다.

(2-3) $\displaystyle \int_0^tu(z)\,dz=2t^3-4t^2+14t$ : +10점

(2-3) $\displaystyle 3+\int_0^tv(z)\,dz=t^3+2t^2+5t+3$ : +10점

(2-3) $\displaystyle t^3-6t^2+9t-3=0$ : +10점

(2-3) $\displaystyle g(t)=t^3-6t^2+9t-3$ 의 그래프의 개형을 이해하여 $\displaystyle x$ 축과 3번 만남을 보이면: +30점Correction. 2-3 채점표에는 1-3의 채점기준이 잘못 중복 기재되어 있다. 점 $\displaystyle P$ , $\displaystyle Q$ 의 이동 거리와 만나는 횟수에 관한 기준이므로, 센서의 확률과 추가 비용을 다루는 2-3에 해당하지 않는다. 그러나 원문 표기는 그대로 실었다.

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