자연계열 B 2번

세종대 2017학년도 수시 자연계열 B 2번 · mathesis.kr/archive/sejong/2017su/jayeonb_2

[문제 2] 아래 글을 읽고, 각 물음에 답하시오.

좌표공간에 점 $\displaystyle \mathrm A(4,4,3)$ , 직선 $\displaystyle \ell:\frac{x-2}2=\frac{y+1}2=\frac{z-6}{-3}$ , 평면 $\displaystyle \alpha:x+2y+2z=9$ ,

$\displaystyle \alpha$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm B\left(2,\frac32,2\right)$ 가 있다. 평면 $\displaystyle \alpha$ 위의 점 중에서 점 B로부터 거리가 2 이상인 점의 집합을 $\displaystyle S$ 라 하자.

(2-1) 점 A에서 평면 $\displaystyle \alpha$ 에 내린 수선의 발을 H라 할 때, H의 좌표를 구하시오. (60점)

(2-2) 집합 $\displaystyle S$ 에 속하는 점 Q에 대하여, 선분 AQ의 길이의 최솟값을 구하시오. (60점)

(2-3) 직선 $\displaystyle \ell$ 의 평면 $\displaystyle \alpha$ 위로의 정사영을 $\displaystyle \ell\prime$ 이라 할 때, $\displaystyle \ell\prime$ 은 집합 $\displaystyle S$ 에 속함을 보이시오. (60점)

해설강의 준비중

세종대 2017학년도 수시 자연계열 B 2번 · mathesis.kr/archive/sejong/2017su/jayeonb_2

[문제 2]

30점 · 점 A와 H를 지나는 직선

\displaystyle x=4+t,y=4+2t,z=3+2t

(2-1) $\displaystyle (1,2,2)$ 가 평면에 수직인 벡터이므로 점 A와 점 H를 지나는 직선의 방정식은 $\displaystyle x=4+t,y=4+2t,z=3+2t$ 이고

60점

이 직선이 평면 $\displaystyle \alpha$ 와 만나는 점이 H이므로 $\displaystyle (4+t)+2(4+2t)+2(3+2t)-9=0$ 을 만족한다. 따라서 $\displaystyle t=-1$ 이 되어 점 H의 좌표는 $\displaystyle (3,2,1)$ 이 된다.

+20점 ·

\displaystyle \overline{\mathrm{AH}}=3

(2-2) $\displaystyle \overline{\mathrm{AQ}}^2=\overline{\mathrm{AH}}^2+\overline{\mathrm{HQ}}^2=9+\overline{\mathrm{HQ}}^2$ 이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AQ}}$ 최솟값은 $\displaystyle \overline{\mathrm{HQ}}$ 가 최솟값을 가질 때이고,

+20점 ·

\displaystyle \overline{\mathrm{HQ}}=\frac12

$\displaystyle \overline{\mathrm{HQ}}$ 의 최솟값은 B와 H를 지나는 직선이 B를 중심으로 하고 반지름이 2인 원과 만나는 점이 Q일 때이다. 이 때, H와 B간의 거리가 $\displaystyle \frac32$ 이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{HQ}}$ 의 최솟값은 $\displaystyle 2-\frac32=\frac12$ 이다.

+20점

따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AQ}}^2$ 의 최솟값은 $\displaystyle 9+\left(\frac12\right)^2=\frac{37}4$ 이다. 답은 $\displaystyle \frac{\sqrt{37}}2$ 이다.

(2-3)

점 B와 직선 $\displaystyle \ell$ 위의 한 점 $\displaystyle (2t+2,2t-1,-3t+6)$ 사이의 거리를 $\displaystyle d$ 라 하면,

$\displaystyle d^2=(2t)^2+\left(2t-\frac52\right)^2+(-3t+4)^2$ 이고 이 식을 미분하면 $\displaystyle t=1$ 일 때 $\displaystyle d^2$ 은 최솟값 $\displaystyle \frac{21}4$ 을 가진다. 따라서 점 B와 직선 $\displaystyle \ell$ 사이의 거리는 $\displaystyle \frac{\sqrt{21}}2$ 이다.

20점 ·

\displaystyle \ell\prime

의 방향벡터가

\displaystyle (2,2,-3)

의 상수배까지

또한 $\displaystyle (2,2,-3)\cdot(1,2,2)=0$ 이므로 직선 $\displaystyle \ell$ 과 평면 $\displaystyle \alpha$ 는 평행하다.

따라서 점 B와 직선 $\displaystyle \ell$ 의 최소거리가 되는 $\displaystyle \ell$ 위의 점을 $\displaystyle \mathrm T_1$ , 점 B와 직선 $\displaystyle \ell\prime$ 의 최소거리가 되는 $\displaystyle \ell\prime$ 위의 점을 $\displaystyle \mathrm T_2$ 라 하면 $\displaystyle \mathrm T_2$ 는 $\displaystyle \mathrm T_1$ 을 평면 $\displaystyle \alpha$ 에 내린 수선의 발이다.

50점 · 점 B와의 거리

\displaystyle \frac{\sqrt{17}}2

까지

60점 · 점 B와 직선

\displaystyle \ell\prime

의 거리

\displaystyle \frac{\sqrt{17}}2>2

직선 $\displaystyle \ell$ 과 평면 $\displaystyle \alpha$ 사이의 거리가 1이므로 피타고라스정리에 의하여 점 B와 직선 $\displaystyle \ell\prime$ 의 거리는 $\displaystyle \frac{\sqrt{17}}2>2$ 가 되므로 직선 $\displaystyle \ell\prime$ 은 집합 $\displaystyle S$ 에 속한다.

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