자연계열 A 1번

[문제 1]

(1-1)

표본공간을 $\displaystyle S$, 지각하지 않을 사건을 $\displaystyle O$, 날씨가 맑을 사건을 $\displaystyle G$라고 하자. 날씨가 맑지 않을 사건은 $\displaystyle G$의 여사건 $\displaystyle G^c$이다.

일기예보에 의하면 $\displaystyle P(G)=0.8$이고 $\displaystyle P(G^c)=1-P(G)=0.2$이다.

오전 8시에 버스정류장에 도착하면, 버스를 기다리는 시간이 15분 이하이어야 지각하지 않는다. 따라서 날씨가 맑을 때, 지각하지 않을 확률 $\displaystyle P(O\mid G)$와 날씨가 맑지 않을 때, 지각하지 않을 확률 $\displaystyle P(O\mid G^c)$은 각 확률밀도함수를 적분하여 다음과 같이 계산된다.

한편 표본공간 $\displaystyle S$는 서로 배반인 사건 $\displaystyle G$와 $\displaystyle G^c$의 합집합 $\displaystyle (S=G\cup G^c)$이므로, 사건 $\displaystyle O$를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$\displaystyle O=O\cap S=O\cap(G\cup G^c)=(O\cap G)\cup(O\cap G^c)$

사건 $\displaystyle G$와 $\displaystyle G^c$이 서로 배반이므로, 사건 $\displaystyle (O\cap G)(\subset G)$와 $\displaystyle (O\cap G^c)(\subset G^c)$는 서로 배반이다.

그러므로 확률의 덧셈정리에 의하여

$\displaystyle P(O)=P((O\cap G)\cup(O\cap G^c))=P(O\cap G)+P(O\cap G^c)$

이다.

확률의 곱셈정리에 의하여 $\displaystyle P(O\cap G)=P(G)P(O\mid G)$이고 $\displaystyle P(O\cap G^c)=P(G^c)P(O\mid G^c)$이다.

최종적으로 지각하지 않을 확률 $\displaystyle P(O)$은 다음과 같다.

(1-2)

오전 8시에 버스정류장에 도착하여 지각하지 않을 때, 날씨가 맑을 확률 $\displaystyle P(G\mid O)$는 조건부확률의 정의에 의해 $\displaystyle P(G\mid O)=\frac{P(G\cap O)}{P(O)}$이다.

(1-3)

버스정류장에 도착한 시간부터 8시 15분까지의 시간을 $\displaystyle y(\ge0)$라 하자. 버스를 기다리는 시간이 $\displaystyle y$ 이하이면 지각하지 않는다. 따라서

$\displaystyle P(O\mid G)=\int_0^y\frac1{30}\,dx=\frac y{30}$이고 $\displaystyle P(O\mid G^c)=\int_0^y\frac1{60}\,dx=\frac y{60}$

이다. (1-1)에서 사용한 계산방법을 이용하면, 지각하지 않을 확률 $\displaystyle P(O)$는 다음과 같다.

$\displaystyle P(O)=P(G)P(O\mid G)+P(G^c)P(O\mid G^c)=0.8\times\frac y{30}+0.2\times\frac y{60}=\frac3{100}y$

$\displaystyle P(O)=\frac3{100}y\ge0.6$이어야 하므로 $\displaystyle y\ge20$이다.