자연계열 A 2번

[문제 2]

(2-1)

위 그림과 같이 문제에서 주어진 직선을 $\displaystyle l$이라하고 문제의 조건으로부터 반지름이 5인 노란색 구를 생각하자. 또한 $\displaystyle l$에 수직이고 H를 포함하는 평면이 구의 내부와 만나는 부분 중에서 H로부터 거리가 1이상인 영역을 주황색으로 나타내자. 위 그림에서와 같이 주황색 영역 위에 있는 점 중에서 H로 부터의 거리가 1인 점 $\displaystyle \mathrm P_1$을 택하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}_1}$이 A와 P 사이의 거리의 최솟값이다.

(2-2) 위 그림에서와 같이 $\displaystyle \mathrm P_2$가 주황색 원의 중심일 때, $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}_2}$가 $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$의 최솟값이다.

평면의 방정식 $\displaystyle x+y+2z-10=0$이므로 원점과의 거리는 $\displaystyle \frac{10}{\sqrt6}=\frac{5\sqrt6}3$이다.

(2-3) 위 그림에서와 같이 H와 $\displaystyle \mathrm P_2$를 지나는 직선이 주황색 원과 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm P_3$이라 하자.

$\displaystyle \mathrm P=\mathrm P_3$일 때, $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{AP}}|$가 최대가 된다. $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{HP}_2}=\left(-\frac13,\frac53,-\frac23\right)$와 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm P_2\mathrm P_3}$이 평행하므로

$\displaystyle \overline{\mathrm{OP}_2}$와 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}_3}$의 길이를 이용하면 원의 반지름 $\displaystyle \overline{\mathrm P_2\mathrm P_3}$이 $\displaystyle \frac5{\sqrt3}=\frac{5\sqrt3}3$이다.