자연계열 B 1번

전체 시험 시간 120분

세종대 2018학년도 수시 자연계열 B 1번 · mathesis.kr/archive/sejong/2018su/jayeonb_1

[문제 1] 함수 $\displaystyle f(x)=e^{x+x^2}+e^{x+\sqrt x}\ (x\ge0)$ 와 $\displaystyle f(x)$ 의 역함수 $\displaystyle g(x)\ (x\ge2)$ 에 대하여 정적분에 관한 다음 질문에 답하시오.

(1-1) $\displaystyle \int_0^1e^{x+x^2}\,dx=A$ 일 때, 정적분 $\displaystyle \int_0^12xe^{x+x^2}\,dx$ 를 $\displaystyle A$ 에 관한 식으로 나타내시오. (60점)

(1-2) 정적분 $\displaystyle \int_0^1f(x)\,dx$ 의 값을 구하시오. (60점)

(1-3) 정적분 $\displaystyle \int_2^{2e^2}g(x)\,dx$ 의 값을 구하시오. (60점)

해설강의 준비중

세종대 2018학년도 수시 자연계열 B 1번 · mathesis.kr/archive/sejong/2018su/jayeonb_1

[문제 1]

60점 ·

\displaystyle \int_0^12xe^{x+x^2}\,dx=e^2-1-A

(1-1) (1안) $\displaystyle \int_0^12xe^{x+x^2}\,dx=\int_0^1e^x\cdot2xe^{x^2}\,dx=\Biggl[e^x\cdot e^{x^2}\Biggr]_0^1-\int_0^1e^x\cdot e^{x^2}\,dx=e^2-1-A$

(1-2) $\displaystyle \int_0^1e^{x+\sqrt x}\,dx$ 에서 $\displaystyle u=\sqrt x$ 로 치환하면 $\displaystyle u^2=x$ 이고 $\displaystyle dx=2u\,du$ 이다.

30점 · 치환으로 등식

\displaystyle \int_0^1e^{x+\sqrt x}\,dx=\int_0^12ue^{u+u^2}\,du

를 구하면

따라서 $\displaystyle \int_0^1e^{x+\sqrt x}\,dx=\int_0^12ue^{u+u^2}\,du=e^2-1-A$ 이다.

60점 · 답

\displaystyle e^2-1

를 구하면

그러므로 $\displaystyle \int_0^1f(x)\,dx=\int_0^1e^x\cdot e^{x^2}\,dx+\int_0^1e^x\cdot e^{\sqrt x}\,dx=A+e^2-1-A=e^2-1$ 이 된다.

(1-3) (1안) $\displaystyle \int_2^{2e^2}g(x)\,dx$ 에서 $\displaystyle y=g(x)$ 로 치환하자. 그러면 $\displaystyle x=f(y)$ 가 되고 $\displaystyle dx=f\prime(y)\,dy$ 이다. 따라서

+30점 ·

\displaystyle y=g(x)

로 치환을 시도하여

\displaystyle \int_2^{2e^2}g(x)\,dx=\int_0^1yf\prime(y)\,dy=\Biggl[yf(y)\Biggr]_0^1-\int_0^1f(y)\,dy

를 구하면

$\displaystyle \int_2^{2e^2}g(x)\,dx=\int_0^1yf\prime(y)\,dy=\Biggl[yf(y)\Biggr]_0^1-\int_0^1f(y)\,dy$

+30점 · 최종적으로 답

\displaystyle e^2+1

을 구하면

$\displaystyle =2e^2-\int_0^1f(x)\,dx=e^2+1$

이다.

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