자연계열 B 3번

[문제 3]

(3-3) $\displaystyle f\prime(x)=ae^x+2x+a-ae-1$이고 $\displaystyle a>0$이므로 $\displaystyle f\prime\prime(x)=ae^x+2>0$이다. 따라서 함수 $\displaystyle f(x)$의 그래프는 아래로 볼록하고 $\displaystyle f(0)=f(1)=0$이다. 결국 다음 함수는 조건 (가)를 만족시킨다.

$\displaystyle f(x)=ae^x+x^2+(a-ae-1)x-a\quad(a>0)$

그런데 $\displaystyle g(x)=f\prime(x)=ae^x+2x+a-ae-1$이고 $\displaystyle g\prime(x)=ae^x+2>0$이므로 $\displaystyle g(x)$는 증가함수이고 $\displaystyle g\prime\prime(x)=ae^x>0$이므로 $\displaystyle g(x)$는 아래로 볼록하다.

그러므로 조건 (나)를 만족시키도록 직선과 곡선의 위치 관계를 생각하면

$\displaystyle g\prime(1)>a+4$이고 $\displaystyle g(0)>-3$

이어야 한다. (아래 그림참조)

(3-4) $\displaystyle g(x)=f\prime(x)=ae^x+2x+a-ae-1$, $\displaystyle g\prime(x)=ae^x+2$, $\displaystyle g(1)=a+1$, $\displaystyle g\prime(1)=ae+2$

이므로 $\displaystyle x=1$에서 곡선 $\displaystyle y=g(x)$에 대한 접선의 방정식은 $\displaystyle y=(ae+2)(x-1)+a+1$, 즉

$\displaystyle y=(ae+2)x+a-ae-1$

이다. 따라서

$\displaystyle k=a-ae-1$이고 $\displaystyle \frac{4-4e}{k+1}=\frac{4(1-e)}{a(1-e)}=\frac4a$

이다. 문제 (3-3)의 결과로부터

$\displaystyle 1.4<2(e-2)<\frac4a<2(e-1)<3.6$