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자연계열 A 3번

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세종대 2018학년도 수시 자연계열 A 3번 · mathesis.kr/archive/sejong/2018su/jayeona_3

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[문제 3] 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 f(x)\displaystyle f(x)에 대하여 함수 F(x)\displaystyle F(x)를

F(x)={f(x)−xex2x−1(x≠1)a(x=1)\displaystyle F(x)=\begin{cases}\frac{f(x)-xe^{x^2}}{x-1}&(x\ne1)\\a&(x=1)\end{cases}

라 정의하자. F′(x)\displaystyle F\prime(x)는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

(3-1) f(1)\displaystyle f(1)의 값을 구하시오. (60점)

(3-2) 미분계수의 정의를 이용하여 f′(1)\displaystyle f\prime(1)을 a\displaystyle a에 관한 식으로 나타내시오. (60점)

(3-3) g(x)=f′(x)\displaystyle g(x)=f\prime(x)라 하자. F′(1)=3\displaystyle F\prime(1)=3일 때, 미분계수의 정의를 이용하여 g′(1)\displaystyle g\prime(1)을 구하시오. (60점)

(3-4) 모든 실수 x\displaystyle x에 대하여 xF(1−x)+(1−x)F(x)=0\displaystyle xF(1-x)+(1-x)F(x)=0일 때, ∫01f(x) dx\displaystyle \int_0^1f(x)\,dx를 구하시오. (60점)

해설강의 준비중

세종대 2018학년도 수시 자연계열 A 3번 · mathesis.kr/archive/sejong/2018su/jayeona_3

[문제 3]

(3-1)

60점 · 극한 lim⁡x→1f(x)−xex2x−1\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{f(x)-xe^{x^2}}{x-1}이 존재함을 이용하여 답 f(1)=e\displaystyle f(1)=e를 구하면

(1안) F(x)\displaystyle F(x)가 연속함수이므로 lim⁡x→1F(x)=F(1)=a\displaystyle \lim_{x\to1}F(x)=F(1)=a이다. 즉 lim⁡x→1f(x)−xex2x−1=a\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{f(x)-xe^{x^2}}{x-1}=a인데 lim⁡x→1(x−1)=0\displaystyle \lim_{x\to1}(x-1)=0이므로 lim⁡x→1(f(x)−xex2)=0\displaystyle \lim_{x\to1}(f(x)-xe^{x^2})=0이다. f(x)\displaystyle f(x)가 연속함수이므로 f(1)=e\displaystyle f(1)=e이다.

(3-2) (1안)

f(x)=(x−1)F(x)+xex2\displaystyle f(x)=(x-1)F(x)+xe^{x^2}이다.

+30점 · 미분계수의 정의를 이용하여 f′(1)=lim⁡x→1F(x)+lim⁡x→1xex2−ex−1\displaystyle f\prime(1)=\lim_{x\to1}F(x)+\lim_{x\to1}\frac{xe^{x^2}-e}{x-1}를 얻으면
+30점 · 답 a+3e\displaystyle a+3e까지 올바르게 계산하면

f′(1)=lim⁡x→1f(x)−f(1)x−1=lim⁡x→1(x−1)F(x)+xex2−ex−1=lim⁡x→1(x−1)F(x)x−1+lim⁡x→1xex2−ex−1=lim⁡x→1F(x)+lim⁡x→1xex2−ex−1=a+3e\displaystyle \begin{aligned}f\prime(1)&=\lim_{x\to1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\to1}\frac{(x-1)F(x)+xe^{x^2}-e}{x-1}\\&=\lim_{x\to1}\frac{(x-1)F(x)}{x-1}+\lim_{x\to1}\frac{xe^{x^2}-e}{x-1}\\&=\lim_{x\to1}F(x)+\lim_{x\to1}\frac{xe^{x^2}-e}{x-1}=a+3e\end{aligned}

(참고) lim⁡x→1xex2−ex−1\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{xe^{x^2}-e}{x-1}의 계산 :h(x)=xex2\displaystyle h(x)=xe^{x^2}라 하면 lim⁡x→1xex2−ex−1=lim⁡x→1h(x)−h(1)x−1=h′(1)\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{xe^{x^2}-e}{x-1}=\lim_{x\to1}\frac{h(x)-h(1)}{x-1}=h\prime(1)이다.그런데 h′(x)=ex2+2x2ex2\displaystyle h\prime(x)=e^{x^2}+2x^2e^{x^2}이므로 h′(1)=3e\displaystyle h\prime(1)=3e이다.

(3-3)

+30점 · 미분계수의 정의를 이용하여 lim⁡x→1(F(x)−F(1)x−1+F′(x)+ex2+2x2ex2−3ex−1)\displaystyle \lim_{x\to1}\left(\frac{F(x)-F(1)}{x-1}+F\prime(x)+\frac{e^{x^2}+2x^2e^{x^2}-3e}{x-1}\right)까지 얻으면

g′(1)=lim⁡x→1g(x)−g(1)x−1=lim⁡x→1f′(x)−f′(1)x−1=lim⁡x→1F(x)+(x−1)F′(x)+ex2+2x2ex2−(a+3e)x−1=lim⁡x→1(F(x)−F(1)x−1+F′(x)+ex2+2x2ex2−3ex−1)\displaystyle \begin{aligned}g\prime(1)&=\lim_{x\to1}\frac{g(x)-g(1)}{x-1}=\lim_{x\to1}\frac{f\prime(x)-f\prime(1)}{x-1}\\&=\lim_{x\to1}\frac{F(x)+(x-1)F\prime(x)+e^{x^2}+2x^2e^{x^2}-(a+3e)}{x-1}\\&=\lim_{x\to1}\left(\frac{F(x)-F(1)}{x-1}+F\prime(x)+\frac{e^{x^2}+2x^2e^{x^2}-3e}{x-1}\right)\end{aligned}

+30점 · 최종적으로 답 6+10e\displaystyle 6+10e를 올바로 구하면

=F′(1)+F′(1)+10e=6+10e\displaystyle =F\prime(1)+F\prime(1)+10e=6+10e

(참고) lim⁡x→1ex2+2x2ex2−3ex−1\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{e^{x^2}+2x^2e^{x^2}-3e}{x-1}의 계산 :h(x)=ex2+2x2ex2\displaystyle h(x)=e^{x^2}+2x^2e^{x^2}라 하면 lim⁡x→1ex2+2x2ex2−3ex−1=lim⁡x→1h(x)−h(1)x−1=h′(1)=10e\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{e^{x^2}+2x^2e^{x^2}-3e}{x-1}=\lim_{x\to1}\frac{h(x)-h(1)}{x-1}=h\prime(1)=10e이다.

(3-4) 주어진 문제의 조건을 이용하면 ∫01(x−1)F(x) dx=∫01xF(1−x) dx\displaystyle \int_0^1(x-1)F(x)\,dx=\int_0^1xF(1-x)\,dx가 된다.

+30점 · ∫01(x−1)F(x) dx=0\displaystyle \int_0^1(x-1)F(x)\,dx=0을 보이면

u=1−x\displaystyle u=1-x로 치환하면 ∫01xF(1−x) dx=∫10(1−u)F(u)(−du)=−∫01(u−1)F(u) du\displaystyle \int_0^1xF(1-x)\,dx=\int_1^0(1-u)F(u)(-du)=-\int_0^1(u-1)F(u)\,du를 얻는다. 따라서 ∫01(x−1)F(x) dx=0\displaystyle \int_0^1(x-1)F(x)\,dx=0이다.

+30점 · 답 12(e−1)\displaystyle \frac12(e-1)을 구하면

그러므로∫01f(x) dx=∫01{(x−1)F(x)+xex2} dx=∫01xex2 dx=[12ex2]01=12(e−1)\displaystyle \int_0^1f(x)\,dx=\int_0^1\{(x-1)F(x)+xe^{x^2}\}\,dx=\int_0^1xe^{x^2}\,dx=\Biggl[\frac12e^{x^2}\Biggr]_0^1=\frac12(e-1)이다.

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