수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.

자연계열 B 2번

세종대 2018학년도 수시 자연계열 B 2번 · mathesis.kr/archive/sejong/2018su/jayeonb_2

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문제

[문제 2] 그림과 같이 한 변의 길이가 1인 정사면체 ABCD가 있다. 선분 BC를 2:1\displaystyle 2:1로 내분하는 점을 P라 하고 AB→=b⃗\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec b, AC→=c⃗\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\vec c, AD→=d⃗\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AD}}=\vec d라 하자.

정사면체 ABCD와 변 BC의 내분점 P

(2-1) 세 꼭짓점 A,B,C\displaystyle \mathrm A,\mathrm B,\mathrm C를 포함하는 평면을 α\displaystyle \alpha라 하자. 점 D에서 평면 α\displaystyle \alpha에 내린 수선의 발을 H라 할 때, DH→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{DH}}를 b⃗,c⃗,d⃗\displaystyle \vec b,\vec c,\vec d에 관한 식으로 나타내시오. (60점)

(2-2) 선분 AP의 중점을 Q라 할 때, DQ→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{DQ}}를 b⃗,c⃗,d⃗\displaystyle \vec b,\vec c,\vec d에 관한 식으로 나타내고 ∣DQ→∣\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{DQ}}|를 구하시오. (60점)

(2-3) 점 R가 선분 AP 위를 움직일 때, 점 D와 점 R 사이의 거리를 L\displaystyle L이라 하자. L2\displaystyle L^2의 최솟값을 구하시오. (60점)

해설강의 준비중

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[문제 2]

+30점 · AH→=b⃗3+c⃗3\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AH}}=\frac{\vec b}3+\frac{\vec c}3를 구하면

(2-1) (1안) 점 D의 평면 α\displaystyle \alpha 위로의 수선의 발 H는 삼각형 ABC의 무게중심이므로 AH→=b⃗3+c⃗3\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AH}}=\frac{\vec b}3+\frac{\vec c}3이다.

+30점 · 최종적으로 답 DH→=b⃗3+c⃗3−d⃗\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{DH}}=\frac{\vec b}3+\frac{\vec c}3-\vec d를 구하면

따라서 DH→=b⃗3+c⃗3−d⃗\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{DH}}=\frac{\vec b}3+\frac{\vec c}3-\vec d이다.

(2-2) AP→=b⃗3+2c⃗3\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{\vec b}3+\frac{2\vec c}3이고 AQ→=12AP→=b⃗6+c⃗3\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AQ}}=\frac12\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{\vec b}6+\frac{\vec c}3이다.

+30점 · DQ→=b⃗6+c⃗3−d⃗\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{DQ}}=\frac{\vec b}6+\frac{\vec c}3-\vec d를 구하면

따라서 DQ→=b⃗6+c⃗3−d⃗\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{DQ}}=\frac{\vec b}6+\frac{\vec c}3-\vec d이고

+30점 · 내적을 이용하여 ∣DQ→∣2\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{DQ}}|^2을 구하고 최종 답 56\displaystyle \frac56를 구하면

∣DQ→∣2=DQ→⋅DQ→=136+19+1+118−16−13=2536\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{DQ}}|^2=\overrightarrow{\mathrm{DQ}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{DQ}}=\frac1{36}+\frac19+1+\frac1{18}-\frac16-\frac13=\frac{25}{36}이다. 그러므로 답은 2536=56\displaystyle \sqrt{\frac{25}{36}}=\frac56이다.

+30점 · DR→=t(b⃗3+2c⃗3)−d⃗\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{DR}}=t\left(\frac{\vec b}3+\frac{2\vec c}3\right)-\vec d를 구하면

(2-3) R가 선분 AP‾\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}를 t\displaystyle t대 1−t\displaystyle 1-t로 내분하는 점이라 하면, AR→=(b⃗3+2c⃗3)t\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AR}}=\left(\frac{\vec b}3+\frac{2\vec c}3\right)t이고DR→=(b⃗3+2c⃗3)t−d⃗\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{DR}}=\left(\frac{\vec b}3+\frac{2\vec c}3\right)t-\vec d이다.

+30점 · ∣DR→∣2=DR→⋅DR→=79t2−t+1\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{DR}}|^2=\overrightarrow{\mathrm{DR}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{DR}}=\frac79t^2-t+1을 올바르게 구하고 답 1928\displaystyle \frac{19}{28}가 맞으면

그러므로 ∣DR→∣2=DR→⋅DR→=79t2−t+1\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{DR}}|^2=\overrightarrow{\mathrm{DR}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{DR}}=\frac79t^2-t+1이다.따라서 L2\displaystyle L^2의 최솟값은 t=914\displaystyle t=\frac9{14}일 때 1928\displaystyle \frac{19}{28}이다.

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