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자연계열 A 1번

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세종대 2020학년도 수시 자연계열 A 1번 · mathesis.kr/archive/sejong/2020su/jayeona_1

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문제

[문제 1] 함수 f(x)\displaystyle f(x)는 양의 실수에서 정의되고 두 번 미분가능하다. 임의의 양의 실수 t\displaystyle t에 대하여 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x) 위의 점 (t,f(t))\displaystyle (t,f(t))에서의 접선을 l\displaystyle l이라 하자. 직선 l\displaystyle l은 y\displaystyle y축과 (0,g(t))\displaystyle (0,g(t))에서 만나고 x\displaystyle x축과 (h(t),0)\displaystyle (h(t),0)에서 만난다. 이 경우 g(t)=2t−ln⁡t\displaystyle g(t)=\frac2t-\ln t이고 h(1)=23\displaystyle h(1)=\frac23이다.

(1-1) f(1)\displaystyle f(1)을 구하시오. (70점)

(1-2) f′′(t)\displaystyle f\prime\prime(t)를 구하시오. (80점)

(1-3) f(t)\displaystyle f(t)를 구하시오. (80점)

해설강의 준비중

세종대 2020학년도 수시 자연계열 A 1번 · mathesis.kr/archive/sejong/2020su/jayeona_1

[문제 1]

30점 · 기울기 −3\displaystyle -3을 구하면

(1-1) 곡선 위의 점 (1,f(1))\displaystyle (1,f(1))에서의 접선은 두 점 (0,g(1))=(0,2)\displaystyle (0,g(1))=(0,2)와 (h(1),0)=(23,0)\displaystyle (h(1),0)=\left(\frac23,0\right)을 지나므로 기울기 f′(1)=−22/3=−3\displaystyle f\prime(1)=-\frac2{2/3}=-3이다.

70점 · 답 f(1)=−1\displaystyle f(1)=-1을 구하면

따라서 f(1)=−1\displaystyle f(1)=-1이다.

30점 · g(t)=2t−ln⁡t=f(t)−tf′(t)\displaystyle g(t)=\frac2t-\ln t=f(t)-tf\prime(t)을 구하면

(1-2) 점 (t,f(t))\displaystyle (t,f(t))에서 접선의 방정식은 y−f(t)=f′(t)(x−t)\displaystyle y-f(t)=f\prime(t)(x-t)이므로 y\displaystyle y절편은 f(t)−tf′(t)\displaystyle f(t)-tf\prime(t)이다. 즉 g(t)=2t−ln⁡t=f(t)−tf′(t)\displaystyle g(t)=\frac2t-\ln t=f(t)-tf\prime(t)이다.

양변을 t\displaystyle t에 대하여 미분하면 −2t2−1t=f′(t)−(f′(t)+tf′′(t))=−tf′′(t)\displaystyle -\frac2{t^2}-\frac1t=f\prime(t)-(f\prime(t)+tf\prime\prime(t))=-tf\prime\prime(t)가 된다.

80점 · 답 f′′(t)=2t3+1t2\displaystyle f\prime\prime(t)=\frac2{t^3}+\frac1{t^2}을 구하면

따라서 f′′(t)=2t3+1t2\displaystyle f\prime\prime(t)=\frac2{t^3}+\frac1{t^2}이다.

30점 · f′(t)=−1t2−1t+C\displaystyle f\prime(t)=-\frac1{t^2}-\frac1t+C을 구하면

(1-3) f′′(t)\displaystyle f\prime\prime(t)를 적분하면 f′(t)=−1t2−1t+C\displaystyle f\prime(t)=-\frac1{t^2}-\frac1t+C를 얻는다.

50점 · f′(t)=−1t2−1t−1\displaystyle f\prime(t)=-\frac1{t^2}-\frac1t-1을 구하면

f′(1)=−3\displaystyle f\prime(1)=-3이므로 f′(t)=−1t2−1t−1\displaystyle f\prime(t)=-\frac1{t^2}-\frac1t-1이다.

80점 · f(t)=1t−ln⁡t−t−1\displaystyle f(t)=\frac1t-\ln t-t-1을 구하면

따라서 f(t)=1t−ln⁡t−t−1\displaystyle f(t)=\frac1t-\ln t-t-1이다.

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