자연계열 B 3번

(3-1) 벡터 $\displaystyle (2,-1,2)$가 평면 $\displaystyle 2x-y+2z=4$에 수직하므로 C의 좌표는 $\displaystyle (2t-2,-t+1,2t)$이다.

그런데 C는 평면 $\displaystyle 2x-y+2z=4$ 위에 있어야 하므로 $\displaystyle t=1$이다. 따라서 C의 좌표는 $\displaystyle (0,0,2)$이다.

(3-2) 점 $\displaystyle \mathrm C\prime$와 거리가 최대가 되는 점 $\displaystyle \mathrm P\prime$에서 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CP}}$가 $\displaystyle xy$평면과 평행하여야 하므로 점 P의 $\displaystyle z$좌표는 2이다.

따라서 $\displaystyle (x+2)^2+(y-1)^2=12$이고, $\displaystyle 2x-y=0$이므로 $\displaystyle \mathrm P\prime$의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac{\sqrt{35}}5,\frac{2\sqrt{35}}5,0\right)$ 또는 $\displaystyle \left(-\frac{\sqrt{35}}5,-\frac{2\sqrt{35}}5,0\right)$이다.

따라서 $\displaystyle (x,y,z-2)\cdot(1,2,0)=0$이므로 $\displaystyle x=-2y$를 얻는다.

$\displaystyle (x+2)^2+(y-1)^2+z^2=16$, $\displaystyle 2x-y+2z=4$, $\displaystyle x=-2y$를 풀면 $\displaystyle 45y^2=28$이다. 따라서 $\displaystyle \mathrm P\prime$의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac{4\sqrt{35}}{15},-\frac{2\sqrt{35}}{15},0\right)$ 또는 $\displaystyle \left(-\frac{4\sqrt{35}}{15},\frac{2\sqrt{35}}{15},0\right)$이다.