자연계열 A 3번

(3-1) 두 점 $\displaystyle P,Q$를 잇는 직선의 방정식은 $\displaystyle (1,0,4)+t(a-1,b,c-4)$이고

$\displaystyle Q\prime$의 $\displaystyle z$-좌표는 $\displaystyle 0$이므로 $\displaystyle t=\frac4{4-c}$이고 $\displaystyle y$좌표는 $\displaystyle \frac{4b}{4-c}$이다.

(3-2) 곡선 $\displaystyle C$는 구 $\displaystyle x^2+y^2+(z-2)^2=1$ 위에 있고 $\displaystyle (x,y,z-2)\cdot(x-1,y,z-4)=0$을 만족하므로

두 방정식을 풀면 $\displaystyle x+2z=5$를 얻는다.

따라서 $\displaystyle \mathrm Q\prime$의 $\displaystyle y$좌표는 $\displaystyle \frac{4\sqrt{-5z^2+24z-28}}{4-z}$이다.

이 식을 미분하여 정리하면 $\displaystyle \frac{4(-8z+20)}{(4-z)^2\sqrt{-5z^2+24z-28}}$이므로 $\displaystyle z=\frac52$일 때, $\displaystyle Q\prime$의 $\displaystyle y$좌표의 최댓값을 얻는다.

따라서 답은 $\displaystyle Q\left(0,\frac{\sqrt3}2,\frac52\right)$이다.