자연계열 A 3번

세종대 2020학년도 수시 자연계열 A 3번 · mathesis.kr/archive/sejong/2020su/jayeona_3

[문제 3] 좌표공간의 점 $\displaystyle \mathrm P(1,0,4)$ 를 지나는 직선이 구 $\displaystyle x^2+y^2+(z-2)^2=1$ 과 접하는 점들의 집합을 곡선 $\displaystyle C$ 라 하자. 점 P를 지나는 직선이 $\displaystyle C$ 위의 한 점 Q를 지나 $\displaystyle xy$ 평면과 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm Q\prime$ 라 하자.

(3-1) 점 $\displaystyle \mathrm Q(a,b,c)$ 에 대응되는 $\displaystyle \mathrm Q\prime$ 의 $\displaystyle y$ 좌표를 $\displaystyle a,b,c$ 로 나타내시오. (80점)

(3-2) 곡선 $\displaystyle C$ 를 포함하는 평면의 방정식을 구하시오. (80점)

(3-3) 점 $\displaystyle \mathrm Q\prime$ 의 $\displaystyle y$ 좌표가 최대가 되는 점 Q의 좌표를 구하시오. (80점)

해설강의 준비중

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[문제 3]

40점 · 직선의 방정식

\displaystyle (1,0,4)+t(a-1,b,c-4)

을 구하면

(3-1) 두 점 $\displaystyle P,Q$ 를 잇는 직선의 방정식은 $\displaystyle (1,0,4)+t(a-1,b,c-4)$ 이고

80점 · 답

\displaystyle \frac{4b}{4-c}

을 구하면

$\displaystyle Q\prime$ 의 $\displaystyle z$ -좌표는 $\displaystyle 0$ 이므로 $\displaystyle t=\frac4{4-c}$ 이고 $\displaystyle y$ 좌표는 $\displaystyle \frac{4b}{4-c}$ 이다.

50점 ·

\displaystyle (x,y,z-2)\cdot(x-1,y,z-4)=0

또는

\displaystyle x^2-x+y^2+z^2-6z+8=0

을 구하면

(3-2) 곡선 $\displaystyle C$ 는 구 $\displaystyle x^2+y^2+(z-2)^2=1$ 위에 있고 $\displaystyle (x,y,z-2)\cdot(x-1,y,z-4)=0$ 을 만족하므로

80점 · 답

\displaystyle x+2z=5

을 구하면

두 방정식을 풀면 $\displaystyle x+2z=5$ 를 얻는다.

(3-3) $\displaystyle x^2+y^2+(z-2)^2=1$ 과 $\displaystyle x+2z=5$ 로부터 $\displaystyle (5-2z)^2+y^2+(z-2)^2=1$ 을 얻고 이 식을 풀면 $\displaystyle y=\sqrt{-5z^2+24z-28}$ 이다.

30점 ·

\displaystyle \mathrm Q\prime

의

\displaystyle y

좌표는

\displaystyle \frac{4\sqrt{-5z^2+24z-28}}{4-z}

을 구하면

따라서 $\displaystyle \mathrm Q\prime$ 의 $\displaystyle y$ 좌표는 $\displaystyle \frac{4\sqrt{-5z^2+24z-28}}{4-z}$ 이다.

60점 ·

\displaystyle z=\frac52

을 구했으면

이 식을 미분하여 정리하면 $\displaystyle \frac{4(-8z+20)}{(4-z)^2\sqrt{-5z^2+24z-28}}$ 이므로 $\displaystyle z=\frac52$ 일 때, $\displaystyle Q\prime$ 의 $\displaystyle y$ 좌표의 최댓값을 얻는다.

80점 · 답

\displaystyle Q\left(0,\frac{\sqrt3}2,\frac52\right)

을 구하면

따라서 답은 $\displaystyle Q\left(0,\frac{\sqrt3}2,\frac52\right)$ 이다.

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