자연계열 B 1번

(1-1) $\displaystyle \{f(x)\}^2+\{g(x)\}^2=1$을 $\displaystyle x$로 미분하면 $\displaystyle 2f(x)f\prime(x)+2g(x)g\prime(x)=0$이다.

$\displaystyle \frac{f\prime(x)}{g\prime(x)}=-\frac{g(x)}{f(x)}$이므로 $\displaystyle \lim_{x\to3}\frac{f\prime(x)}{g\prime(x)}=-\lim_{x\to3}\frac{g(x)}{f(x)}=-\frac{g(3)}{f(3)}=-\frac25$이다.

(1-2) $\displaystyle \{f(x)\}^2+\{g(x)\}^2=1$로 부터 $\displaystyle \{f(x)\}^2\left(1+\left(\frac{g(x)}{f(x)}\right)^2\right)=1$을 얻는다. 따라서 $\displaystyle f(x)>0$이므로 $\displaystyle f(x)=\frac1{\sqrt{1+\left(\frac{g(x)}{f(x)}\right)^2}}$이다.

$\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=\frac1{\sqrt{1+\left(\frac13\right)^2}}=\frac3{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$이다.

(1-3) $\displaystyle \frac d{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac d{dx}\frac{3x^2-3x+7}{x^2+1}=\frac{(3x+1)(x-3)}{(x^2+1)^2}$이므로 $\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}$는 $\displaystyle x=3$에서 최솟값 $\displaystyle \frac{f(3)}{g(3)}=\frac52$를 가진다.

$\displaystyle g(3)=\frac1{\sqrt{\left(\frac{f(3)}{g(3)}\right)^2+1}}=\frac1{\sqrt{\left(\frac52\right)^2+1}}=\frac2{\sqrt{29}}=\frac{2\sqrt{29}}{29}$이다.