자연계열 A 1번

(1-1) 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle g\prime(x)=(2x^2+2x+4)e^{2x}+4e^{4x}>0$이다. 따라서 $\displaystyle g(x)$는 증가함수이므로 일대일함수이다. 그런데 $\displaystyle g(1)=3e^2+e^4$이므로 $\displaystyle x=1$이 방정식 $\displaystyle (x^2+2)e^{2x}+e^{4x}=3e^2+e^4$의 유일한 해이다. 또한 $\displaystyle g(0)=3$이므로 $\displaystyle x=0$이 방정식 $\displaystyle (x^2+2)e^{2x}+e^{4x}=3$의 유일한 해이다.

(1-2) $\displaystyle x=g(f(x))=\{f(x)^2+2\}e^{2f(x)}+e^{4f(x)}=\{f(x)^2+2+e^{2f(x)}\}e^{2f(x)}$에 대하여 $\displaystyle x\to0+$일 때 우변의 극한은 $\displaystyle 0$이고, $\displaystyle f(x)^2+2+e^{2f(x)}>2$이므로 $\displaystyle \lim_{x\to0+}e^{2f(x)}=0$이다. 따라서 $\displaystyle f(x)=t$로 치환하면 $\displaystyle x\to0+$일 때 $\displaystyle t\to-\infty$이다. $\displaystyle f\prime(x)=\frac1{\{2f(x)^2+2f(x)+4\}e^{2f(x)}+4e^{4f(x)}}$이므로$\displaystyle xf\prime(x)=\frac{(f(x)^2+2)e^{2f(x)}+e^{4f(x)}}{\{2f(x)^2+2f(x)+4\}e^{2f(x)}+4e^{4f(x)}}=\frac{f(x)^2+2+e^{2f(x)}}{2f(x)^2+2f(x)+4+4e^{2f(x)}}$이고,$\displaystyle \lim_{x\to0+}xf\prime(x)=\lim_{x\to0+}\frac{f(x)^2+2+e^{2f(x)}}{2f(x)^2+2f(x)+4+4e^{2f(x)}}=\lim_{t\to-\infty}\frac{t^2+2+e^{2t}}{2t^2+2t+4+4e^{2t}}=\frac12$이다.

(1-3) $\displaystyle g(x)$는 증가함수이므로 일대일함수이다. (1-1)에 의하여 $\displaystyle f(3)=0$이고 $\displaystyle f(3e^2+e^4)=1$이다. $\displaystyle f(x)=t$로 치환하면$\displaystyle dt=f\prime(x)dx=\frac1{\{2f(x)^2+2f(x)+4\}e^{2f(x)}+4e^{4f(x)}}dx=\frac1{(2t^2+2t+4)e^{2t}+4e^{4t}}dx$를 얻는다.따라서 $\displaystyle dx=\{(2t^2+2t+4)e^{2t}+4e^{4t}\}dt$가 되고$\displaystyle \int_3^{3e^2+e^4}f(x)dx=\int_0^1t\{(2t^2+2t+4)e^{2t}+4e^{4t}\}dt=\frac34e^4+\frac74e^2+\frac32$이다.