자연계열 A 3번

이 경우 $\displaystyle t=\alpha-1$에서의 좌미분계수와 우미분계수가 모두 $\displaystyle 0$이므로 미분가능하다. 마찬가지로 $\displaystyle t=\alpha$에서도 좌미분계수와 우미분계수가 모두 $\displaystyle 0$이므로 미분가능하다. 그러므로 조건 (나)를 만족시키면서, 동시에 조건 (가)를 만족시키려면, 즉 $\displaystyle g(t)$가 $\displaystyle t=3$에서 미분가능하지 않으려면 열린구간 $\displaystyle (3,4)$에 속하는 적당한 점에서 $\displaystyle f(x)$가 극솟값을

갖고 $\displaystyle f(3)=f(4)$이어야 한다. 따라서 $\displaystyle f(3)-f(4)=0$이다.

(3-2) 조건 (나)에서 닫힌구간 $\displaystyle [0,\frac12]$에 속하는 모든 $\displaystyle t$에 대하여 $\displaystyle g(t)=7$이므로, (3-1)에서와 같이 생각하면 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=\alpha$에서 극댓값 $\displaystyle 7$을 가져야 하고 $\displaystyle \alpha\le1$임을 알 수 있다. 그런데 $\displaystyle f(x)$가 극소가 되는 점은 $\displaystyle x=\alpha$에서 거리가 $\displaystyle 2$이상 떨어져서 오른쪽에 있으므로 구간 $\displaystyle [\alpha-1,\alpha]$에 속하는 모든 $\displaystyle t$에 대하여 $\displaystyle g(t)=7$이다. (위의 그림 참조) 그러므로 $\displaystyle [0,\frac12]\subset[\alpha-1,\alpha]$이어야 한다. 따라서 $\displaystyle \frac12\le\alpha\le1$임을 알 수 있고,

$\displaystyle \alpha$의 최솟값은 $\displaystyle \frac12$,

최댓값은 $\displaystyle 1$이다.

(3-3) (3-1)과 (3-2)의 결과를 이용하면 적당한 상수 $\displaystyle \alpha$와 $\displaystyle \beta$에 대하여 다음과 같이 둘 수 있다.$\displaystyle f(x)=(x-\alpha)^2(x-\beta)+7$ (단, $\displaystyle \frac12\le\alpha\le1$, $\displaystyle \beta>3$)

그런데 삼차함수 $\displaystyle f(x)$의 개형을 생각하면 적어도 구간 $\displaystyle [4,\infty)$에서는 $\displaystyle f(x)$가 증가해야 하므로 $\displaystyle g(4)=f(5)$이다. 주어진 조건식 $\displaystyle g(4)=7$을 이용하면$\displaystyle 7=g(4)=f(5)=(5-\alpha)^2(5-\beta)+7\;(\frac12\le\alpha\le1,\;\beta>3)$에서 $\displaystyle \beta=5$이다. 그러므로 $\displaystyle f(x)=(x-\alpha)^2(x-5)+7$이다.

$\displaystyle f(3)=f(4)$임을 다시 이용하면$\displaystyle -2(3-\alpha)^2+7=-(4-\alpha)^2+7$에서 $\displaystyle \alpha=2\pm\sqrt2$인데 $\displaystyle \frac12\le\alpha\le1$이므로 $\displaystyle \alpha=2-\sqrt2$이다.

따라서 $\displaystyle f(x)=(x-2+\sqrt2)^2(x-5)+7$이고 $\displaystyle f(3)=1-4\sqrt2$이다.