자연계열 B 2번

(2-1) $\displaystyle f\prime(x)=\tan(\ln x)$이므로 $\displaystyle f\prime(1)=0$이다. $\displaystyle e^{-\frac\pi2}<x<1$이면 $\displaystyle -\frac\pi2<\ln x<0$이고 $\displaystyle f\prime(x)=\tan(\ln x)<0$이다. $\displaystyle 1<x<e^{\frac\pi2}$이면 $\displaystyle 0<\ln x<\frac\pi2$이고 $\displaystyle f\prime(x)=\tan(\ln x)>0$이다. 따라서 $\displaystyle x=1$에서 $\displaystyle f(x)$는 최소이다.

(2-2) $\displaystyle f(1)=\int_e^1\tan(\ln x)\,dx=\Biggl[x\tan(\ln x)\Biggr]_e^1-\int_e^1\sec^2(\ln x)\,dx$이므로$\displaystyle \int_e^1\sec^2(\ln x)\,dx=\Biggl[x\tan(\ln x)\Biggr]_e^1-f(1)=-e\tan1-f(1)$이다.

$\displaystyle x=e^t$로 치환하면$\displaystyle \int_e^1\sec^2(\ln x)\,dx=-\int_0^1e^t\sec^2t\,dt=-\int_0^1e^t\tan^2t\,dt-\int_0^1e^t\,dt=-e\tan1-f(1)$이고,$\displaystyle \int_0^1e^x\tan^2x\,dx=e\tan1+a-e+1$이다.

(2-3) $\displaystyle I=\int_{\frac1e}^e\frac{f\prime(x)}{x^2}\,dx-f\left(\frac1e\right)$이라 두면,$\displaystyle I=\int_{\frac1e}^e\frac{f\prime(x)}{x^2}\,dx-f\left(\frac1e\right)=-\int_e^{\frac1e}\frac{\tan(\ln x)}{x^2}\,dx-\int_e^{\frac1e}\tan(\ln x)\,dx=\int_{\frac1e}^e\left(1+\frac1{x^2}\right)\tan(\ln x)\,dx$이다.

$\displaystyle x=\frac1y$로 치환하면 $\displaystyle I=\int_{\frac1e}^e\left(1+\frac1{x^2}\right)\tan(\ln x)\,dx=-\int_{\frac1e}^e\left(1+\frac1{y^2}\right)\tan(\ln y)\,dy=-I$이므로 $\displaystyle I=0$이다.