자연계열 B 3번

따라서 $\displaystyle f(s)$는 다음과 같이 구하여진다.$\displaystyle f(s)=\begin{cases}s&0\le s\le1\\\sqrt{(s-1)^2+1}&1\le s\le a+1\\\sqrt{(s-a-2)^2+a^2}&a+1\le s\le a+2\\2a+2-s&a+2\le s\le2a+2\end{cases}$

$\displaystyle 1<s<a+1$에서 $\displaystyle f(s)=\sqrt{s^2-2s+2}$로부터 $\displaystyle f\prime(s)=\frac{s-1}{\sqrt{s^2-2s+2}}$을 얻어, $\displaystyle f(2)=\sqrt2$이고, $\displaystyle f\prime(2)=\frac{\sqrt2}2$이므로, 구하는 접선의 방정식은 $\displaystyle y=\frac{\sqrt2}2(s-2)+\sqrt2$, 즉 $\displaystyle y=\frac{\sqrt2}2s$이다.

(3-2) $\displaystyle 1<s<a+1$에서 $\displaystyle f\prime(s)=\frac{s-1}{\sqrt{s^2-2s+2}}>0$, $\displaystyle f\prime\prime(s)=\frac1{(s^2-2s+2)^{3/2}}>0$이므로 $\displaystyle y=f(x)$는 아래로 볼록인 함수이며 증가한다. 또한 $\displaystyle a+1<s<a+2$에서$\displaystyle f\prime(s)=\frac{s-a-2}{\sqrt{s^2-2(a+2)s+2a^2+4a+4}}<0$,$\displaystyle f\prime\prime(s)=\frac{a^2}{(s^2-2(a+2)s+2a^2+4a+4)^{3/2}}>0$이므로 $\displaystyle y=f(x)$는 아래로 볼록인 함수이며 감소한다.

따라서 $\displaystyle 0\le s\le2a+2$에서 $\displaystyle y=f(s)$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

$\displaystyle 1<\alpha<a+1$일 때, $\displaystyle \frac{\sqrt{\alpha^2-2\alpha+2}}\alpha=\frac{f(\alpha)-0}{\alpha-0}=f\prime(\alpha)=\frac{\alpha-1}{\sqrt{\alpha^2-2\alpha+2}}$을 이용하여 $\displaystyle \ell_\alpha$가 $\displaystyle (0,0)$을 지나는 $\displaystyle \alpha$를 구하면 $\displaystyle \alpha=2$이다. 그런데 $\displaystyle 1<s<a+1$에서 $\displaystyle y=f(s)$는 아래로 볼록한 증가함수이므로 $\displaystyle 1<\alpha\le2$일 때 $\displaystyle \ell_\alpha$의 $\displaystyle s$절편은 $\displaystyle 0$보다 작거나 같고 $\displaystyle \ell_\alpha$와 $\displaystyle y=f(s)$의 접점을 포함한 교점의 개수는 $\displaystyle 3$이다. $\displaystyle 2<\alpha<a+1$일 때는 $\displaystyle \ell_\alpha$의 $\displaystyle s$절편이 $\displaystyle 0$보다 크고 $\displaystyle a+1$보다 작으므로 $\displaystyle \ell_\alpha$와 $\displaystyle y=f(s)$의 접점을 포함한 교점의 개수는 $\displaystyle 2$이다.

$\displaystyle a+1<s<a+2$에서 $\displaystyle y=f(s)$가 아래로 볼록한 감소함수이므로, 위 모순은 $\displaystyle \ell_\beta$의 $\displaystyle s$절편이 $\displaystyle 2a+2$보다 작거나 같을 수 없음을 의미한다. 그러므로 $\displaystyle a+1<\beta<a+2$에서 $\displaystyle \ell_\beta$의 $\displaystyle s$절편은 $\displaystyle 2a+2$보다 크고, $\displaystyle \ell_\beta$와 $\displaystyle y=f(s)$의 접점을 포함한 교점의 개수는 $\displaystyle 3$이다.

$\displaystyle 1<\alpha<a+1$에서 $\displaystyle 0<\frac{\alpha-1}{\sqrt{\alpha^2-2\alpha+2}}<1$이고, $\displaystyle a+1<\beta<a+2$에서 $\displaystyle -1<\frac{\beta-a-2}{\sqrt{\beta^2-2(a+2)\beta+2a^2+4a+4}}<0$이므로 $\displaystyle 0<\theta_\alpha<\frac\pi4$이고, $\displaystyle \frac{3\pi}4<\theta_\beta<\pi$이다. 따라서 $\displaystyle \ell_\alpha$와 $\displaystyle \ell_\beta$가 이루는 예각 $\displaystyle \theta(\alpha,\beta)$는 $\displaystyle \theta(\alpha,\beta)=\pi-\theta_\beta+\theta_\alpha$이다.

이제, $\displaystyle \lim_{\alpha\to1+}\frac{\alpha-1}{\sqrt{\alpha^2-2\alpha+2}}=0$이고, $\displaystyle \lim_{\beta\to(a+2)-}\frac{\beta-a-2}{\sqrt{\beta^2-2(a+2)\beta+2a^2+4a+4}}=0$이므로 $\displaystyle a$값에 상관없이 $\displaystyle L(a)=\pi-\pi+0=0$이다.

또한 $\displaystyle \lim_{\alpha\to(a+1)-}\frac{\alpha-1}{\sqrt{\alpha^2-2\alpha+2}}=\frac a{\sqrt{a^2+1}}$,$\displaystyle \lim_{\beta\to(a+1)+}\frac{\beta-a-2}{\sqrt{\beta^2-2(a+2)\beta+2a^2+4a+4}}=\frac{-1}{\sqrt{a^2+1}}$이고, $\displaystyle \lim_{a\to\infty}\frac a{\sqrt{a^2+1}}=1$, $\displaystyle \lim_{a\to\infty}\frac{-1}{\sqrt{a^2+1}}=0$이므로 $\displaystyle \lim_{a\to\infty}R(a)=\pi-\pi+\frac\pi4=\frac\pi4$이다.