자연계열 B 1번

(1-1) $\displaystyle 0\le x\le2$일 때 $\displaystyle f(x)=x^3-3x^2+4$이므로 $\displaystyle x^3-3x^2+4=2$를 풀면 $\displaystyle (x-1)(x^2-2x-2)=0$에서 $\displaystyle x=1$ 또는 $\displaystyle x=1\pm\sqrt3$인데 이 중에서 $\displaystyle 0\le x\le2$인 것은 $\displaystyle x=1$뿐이다. 따라서$\displaystyle h^{-1}(2)=h^{-1}(f(1))=h^{-1}(f(-1))=h^{-1}(f(-1+4))=h^{-1}(f(3))=h^{-1}(h(3))=3$이다.

(1-2) $\displaystyle 0<x<2$일 때 $\displaystyle f\prime(x)=3x^2-6x$임을 이용하면 그래프의 개형으로부터$\displaystyle (h^{-1})\prime(2)=\frac1{h\prime(h^{-1}(2))}=\frac1{f\prime(3)}=\frac{-1}{f\prime(1)}=\frac13$을 얻는다.

(1-3) $\displaystyle 0<x<2$일 때 $\displaystyle f\prime(x)=3x^2-6x$이므로 $\displaystyle -3\le f\prime(x)<0$이다. 따라서 그래프의 개형을 생각하면 $\displaystyle (h^{-1})\prime(x)\ge\frac13$이다. (단, $\displaystyle 0<x<4$) 그리고 $\displaystyle t>0$에 대하여 $\displaystyle g(t)\le0$이다. 따라서 $\displaystyle t>0$이면서 $\displaystyle |g(t)|\ge\frac13$, 즉 $\displaystyle g(t)\le-\frac13$인 경우를 생각해야 한다. 그러므로 다음 그림과 같이 $\displaystyle (0,f(0))$을 지나고 기울기가 $\displaystyle -\frac13$인 직선과 곡선 $\displaystyle y=f(x)$가 만나는 점의 $\displaystyle x$좌표의 최댓값이 $\displaystyle t_1$라 하면 $\displaystyle t_1>10$이다. $\displaystyle g(11)=-\frac2{11}>-\frac13$이므로 $\displaystyle t_1<11$이다. $\displaystyle t\ge11$일 때 그림으로부터 $\displaystyle g(t)>-\frac13$이다. 따라서 $\displaystyle t_0=t_1$이고, 문제의 조건을 만족시키는 자연수 $\displaystyle n$은 $\displaystyle 10$이다.