자연계열 A 2번

(2-1) 음함수 미분법에 의하여 $\displaystyle y\prime=\frac{x+y-1}{x+y+1}$

이므로, $\displaystyle x=\frac{e+1}2$, $\displaystyle y=\frac{e-1}2$에서 접선의 기울기 $\displaystyle y\prime=\frac{e-1}{e+1}$이다.

(2-2) $\displaystyle y\prime=\frac{x+y-1}{x+y+1}=0$이면 $\displaystyle x+y=1$이고 식 $\displaystyle y+\ln(x+y)=x$로부터 $\displaystyle x=y$이다. 따라서 $\displaystyle x=\frac12$에서만 $\displaystyle y\prime=0$이다.

$\displaystyle y\prime\prime=\frac{(1+y\prime)(x+y+1)-(x+y-1)(1+y\prime)}{(x+y+1)^2}$이므로 $\displaystyle x=\frac12$에서 $\displaystyle y\prime\prime=\frac12>0$

이고 최솟값은 $\displaystyle f(\frac12)=\frac12$이다.

(2-3) $\displaystyle f(0)=f(\alpha)=\beta$라 놓으면 $\displaystyle \beta+\ln\beta=0,\;\beta+\ln(\alpha+\beta)=\alpha$이고 이로부터 $\displaystyle \alpha=-\ln\beta+\ln(\alpha+\beta)=\ln(1+\frac\alpha\beta)$를 얻고, 이 식을 정리하면 $\displaystyle \beta=\frac\alpha{e^\alpha-1}$이다.

$\displaystyle f(x)$의 최솟값이 $\displaystyle \frac12$이므로 $\displaystyle \frac\alpha{e^\alpha-1}=\beta=f(0)>\frac12$을 얻고 이 식을 정리하면 $\displaystyle 2\alpha+1>e^\alpha$이다.

$\displaystyle y=e^x$와 $\displaystyle y=2x+1$의 그래프를 보면 $\displaystyle 2x+1>e^x$을 만족시키는 $\displaystyle x$의 범위는 $\displaystyle 0<x<x_0$이다. (여기서 $\displaystyle x_0$은 $\displaystyle 2x_0+1=e^{x_0}$을 만족시킨다.) 따라서 $\displaystyle 2\alpha+1>e^\alpha$과 $\displaystyle 2\times2+1=5<e^2$으로부터 $\displaystyle \alpha<x_0<2$를 얻는다.