자연계열 A 1번

(1-1) $\displaystyle x<0$일때 $\displaystyle f\prime(x)=-\frac{(x+3)(x+1)}{(n+3)(n+1)}$이므로 다음과 같은 증감표를 얻는다.

그러므로 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=-3$에서 다음과 같은 극솟값을 가진다.$\displaystyle f(-3)=-\int_0^{-3}\frac{(t+3)(t+1)}{(n+3)(n+1)}dt=-\frac1{(n+3)(n+1)}\Biggl[\frac13t^3+2t^2+3t\Biggr]_0^{-3}=0$

(1-2) $\displaystyle x<0$에서 $\displaystyle f(x)$는 극솟값 $\displaystyle f(-3)=0$과 극댓값 $\displaystyle f(-1)$을 가지며 $\displaystyle f(0)=0$이므로 그래프의 개형을 생각하면 $\displaystyle x\le0$일 때 $\displaystyle f(x)\ge0$이다. 한편 $\displaystyle x>0$에서는$\displaystyle f\prime(x)=\frac{x^3}{n^3}-\frac{(x+3)(x+1)}{(n+3)(n+1)}=\frac{(x-n)\{(n^2+4n+3)x^2+(4n^2+3n)x+3n^2\}}{n^3(n+3)(n+1)}$이고, 자연수 $\displaystyle n$과 양수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle \frac{(n^2+4n+3)x^2+(4n^2+3n)x+3n^2}{n^3(n+3)(n+1)}>0$인 것이 자명하므로 $\displaystyle x>0$에서 $\displaystyle f\prime(x)=0$의 해는 $\displaystyle x=n$이 유일하다. 또한 $\displaystyle 0<x<n$일 때 $\displaystyle f\prime(x)<0$이므로 $\displaystyle f(x)$는 감소하고, $\displaystyle x>n$일 때 $\displaystyle f\prime(x)>0$이므로 $\displaystyle f(x)$는 증가한다. 그러므로 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=n$에서 극솟값을 가진다. 따라서 실수 전체의 영역에서의 그래프의 개형을 생각하면 다음과 같다.

그러므로 $\displaystyle f(x)$의 최솟값은 $\displaystyle f(n)=\int_0^n\{\frac{t^3}{n^3}-\frac{(t+3)(t+1)}{(n+3)(n+1)}\}dt=-\frac{n(n+9)}{12(n+1)}$이다.

(1-3) 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 중에서 접선의 기울기가 $\displaystyle 0$인 점은 방정식 $\displaystyle f\prime(x)=0$을 풀면 얻을 수 있다. (1-1)의 풀이에서 $\displaystyle x<0$일 때 방정식 $\displaystyle f\prime(x)=0$을 풀면 $\displaystyle x=-3$ 또는 $\displaystyle x=-1$이다.$\displaystyle f(-1)=-\int_0^{-1}\frac{(t+3)(t+1)}{(n+3)(n+1)}dt=-\frac1{(n+3)(n+1)}\Biggl[\frac13t^3+2t^2+3t\Biggr]_0^{-1}=\frac4{3(n+3)(n+1)}$이다. (1-2)의 풀이에서 $\displaystyle x>0$에서 방정식 $\displaystyle f\prime(x)=0$을 풀면 $\displaystyle x=n$이다. 한편$\displaystyle \lim_{x\to0-}\frac{f(x)-f(0)}x=-\frac3{(n+3)(n+1)}\ne0$이므로 접선의 기울기가 $\displaystyle 0$인 세 점은 다음과 같다.$\displaystyle \mathrm P(-3,0),\;\mathrm Q(-1,f(-1)),\;\mathrm R(n,f(n))$또한 두 점 $\displaystyle \mathrm Q$와 $\displaystyle \mathrm R$을 지나는 직선이 $\displaystyle x$축과 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm S$라 두고 $\displaystyle \alpha_n=\angle\mathrm{QPS}$, $\displaystyle \beta_n=\angle\mathrm{PSR}$이라 하자. (아래 그림 참조)

이다. 따라서 $\displaystyle \angle\mathrm{PQR}$이 둔각이므로 $\displaystyle \theta_n=\angle\mathrm{PQR}$이다. 그러므로 다음을 얻는다.$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\tan\theta_n=\lim_{n\to\infty}\tan(\angle\mathrm{PQR})=-\frac1{12}$