자연계열 A 2번

(2-1) 조건 (가)로부터 $\displaystyle f(x)=2x+1+(x-a)^2(x-b)^2$으로 쓸 수 있다.

이로부터$\displaystyle 2=f\prime(c)=2+2(c-a)(c-b)(2c-a-b)$를 얻고, $\displaystyle c=\frac{a+b}2$가 된다.

조건 (나)로부터$\displaystyle 5=(b-a)^2+\{f(b)-f(a)\}^2=(b-a)^2+\{2(b-a)\}^2=5(b-a)^2$을 얻는다. 따라서 $\displaystyle b=a+1$이다.

또한 조건 (다)로부터$\displaystyle \frac32=a+b+c=a+a+1+\frac{a+a+1}2=3a+\frac32$이므로 $\displaystyle a=0$, $\displaystyle b=1$이고, $\displaystyle c=\frac{a+b}2=\frac12$이다.

(2-2) $\displaystyle f(x)=x^2(x-1)^2+2x+1$, $\displaystyle f\prime(x)=4x^3-6x^2+2x+2$, $\displaystyle f\prime\prime(x)=2(6x^2-6x+1)$이다.따라서 $\displaystyle 0\;(=a)<x<\frac12-\frac{\sqrt3}6$일 때 $\displaystyle f\prime\prime(x)>0$이므로 $\displaystyle f\prime(x)$는 증가

하고, $\displaystyle \frac12-\frac{\sqrt3}6<x<\frac12\;(=c)$일 때 $\displaystyle f\prime\prime(x)<0$이므로 $\displaystyle f\prime(x)$는 감소한다.

또한 $\displaystyle f\prime(0)=f\prime(\frac12)=2$이므로 $\displaystyle a<x<c$일 때 $\displaystyle f\prime(x)>0$이다. 그러므로 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle a<x<c$일 때 증가함수가 되어 역함수를 가진다.

$\displaystyle (f^{-1})\prime(x)=\frac1{f\prime(f^{-1}(x))}$로부터 $\displaystyle f(a)<x<f(c)$인 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle (f^{-1})\prime(x)$의 최솟값은 $\displaystyle 0\;(=a)<t<\frac12\;(=c)$에서 $\displaystyle f\prime(t)$가 최대일 때이다. $\displaystyle f\prime(t)$의 최댓값은 $\displaystyle f\prime\prime(t)=0$을 만족시키는 $\displaystyle t=\frac12-\frac{\sqrt3}6$일 때 생긴다.

따라서 $\displaystyle f\prime(t)$의 최댓값은 $\displaystyle f\prime(\frac12-\frac{\sqrt3}6)=\frac{18+\sqrt3}9$이고, 답은 $\displaystyle \frac9{18+\sqrt3}=\frac{3(18-\sqrt3)}{107}$이다.

(2-3) 방정식 $\displaystyle f\prime\prime(x)=2(6x^2-6x+1)=0$의 두 근이 $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \beta$이므로 $\displaystyle \alpha+\beta=1$, $\displaystyle \alpha\beta=\frac16$이다.그런데 $\displaystyle f(x)=x^4-2x^3+x^2+2x+1$이므로, 직선 $\displaystyle y=L(x)$의 기울기는 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}\frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}&=\frac{\beta^4-\alpha^4-2(\beta^3-\alpha^3)+(\beta^2-\alpha^2)+2(\beta-\alpha)}{\beta-\alpha}\\&=(\beta+\alpha)(\beta^2+\alpha^2)-2(\beta^2+\beta\alpha+\alpha^2)+\beta+\alpha+2\\&=-(\alpha+\beta)^2+\alpha+\beta+2\\&=2\end{aligned}$

또한 점 $\displaystyle (k,f(k))$와 점 $\displaystyle (k+2f(k),0)$을 지나는 직선의 기울기는 $\displaystyle -\frac{f(k)}{2f(k)}=-\frac12$이므로 이 직선은 직선 $\displaystyle y=L(x)$와 수직이다. 그런데$\displaystyle \frac12\{f(x)+L(x)+|f(x)-L(x)|\}=\begin{cases}f(x)&(f(x)\ge L(x)\text{일 때})\\L(x)&(L(x)\ge f(x)\text{일 때})\end{cases}$이므로 곡선 $\displaystyle y=\frac12\{f(x)+L(x)+|f(x)-L(x)|\}$는 아래 그림에서 두껍게 표시된 부분이다. (단, $\displaystyle \alpha<\beta$라 하자.)

그러므로 선분 $\displaystyle \mathrm{PQ}$의 길이가 최소가 되도록 하는 점 $\displaystyle \mathrm Q$는 $\displaystyle (k,f(k))$이다.방정식 $\displaystyle f(x)=L(x)$로부터$\displaystyle x^2(x-1)^2+2x+1=2(x-\alpha)+f(\alpha)=2(x-\alpha)+\alpha^2(\alpha-1)^2+2\alpha+1$을 얻고, 이를 정리하면 $\displaystyle x^2(x-1)^2=\alpha^2(\alpha-1)^2$이다. 이제 $\displaystyle \alpha(\alpha-1)=-\alpha\beta=-\frac16$임을 이용하여 인수분해하면$\displaystyle \{x^2-x-\alpha(\alpha-1)\}\{x^2-x+\alpha(\alpha-1)\}=(x^2-x+\frac16)(x^2-x-\frac16)=0$

이며, 이 방정식의 근을 모두 구하면 $\displaystyle \frac12\pm\frac{\sqrt3}6$, $\displaystyle \frac12\pm\frac{\sqrt{15}}6$이고, 이 중에서 가장 큰 것이 $\displaystyle k$이므로 $\displaystyle k=\frac12+\frac{\sqrt{15}}6$이다.