자연계열 B 1번

(1-1) $\displaystyle a_1<10$이면 조건 (가)에 의해 $\displaystyle a_2$가 짝수이므로 주어진 조건에 위배되어 $\displaystyle a_1\ge10$임을 알 수 있다. $\displaystyle a_1=10$일 때는 조건 (나)에 의해 $\displaystyle a_2=7$이고, $\displaystyle a_1$이 $\displaystyle 12$이상의 짝수이면 $\displaystyle a_2$는 $\displaystyle 7$보다 크다. 따라서 조건 (나)에 의해 만들어지는 $\displaystyle a_2$의 최솟값은 $\displaystyle 7$이다. 또한 $\displaystyle a_1=11$일 때는 $\displaystyle a_2=6$인데 이 수는 홀수가 아니므로 조건에 맞지 않는다. $\displaystyle a_1=13$일 때는 $\displaystyle a_2=7$이고, $\displaystyle a_1$이 $\displaystyle 15$이상의 홀수이면 $\displaystyle a_2$는 $\displaystyle 7$보다 크다. 그러므로 조건 (다)에 의해 만들어지는 $\displaystyle a_2$의 최솟값은 $\displaystyle 7$이다. 결국 $\displaystyle a_2$의 최솟값은 $\displaystyle 7$이고, 이때 $\displaystyle a_1=10$ 또는 $\displaystyle a_1=13$이다.

(1-2) $\displaystyle a_1=19$일 때, 조건 (나)와 (다)를 이용하면 $\displaystyle a_2=10$, $\displaystyle a_3=8$이고, 이 경우 주어진 조건을 모두 만족시킨다.$\displaystyle a_1=20$일 때는 $\displaystyle a_2=12>10$이므로 주어진 조건을 만족시키지 않는다. 또한 $\displaystyle a_1$이 $\displaystyle 20$보다 큰 짝수인 경우에도 같은 이유로 주어진 조건을 만족시키지 않음을 알 수 있다.$\displaystyle a_1=21$일 때는 $\displaystyle a_2=11>10$이므로 주어진 조건을 만족시키지 않는다. 또한 $\displaystyle a_1$이 $\displaystyle 21$보다 큰 홀수인 경우에도 같은 이유로 주어진 조건을 만족시키지 않음을 알 수 있다.따라서 주어진 조건을 모두 만족시키는 $\displaystyle a_1$의 최댓값은 $\displaystyle 19$이다.

(1-3) $\displaystyle a_6=12$일 때 $\displaystyle a_5$로 가능한 것은 다음과 같이 3가지 경우가 있다.(i) 조건 (가)에 의해 $\displaystyle a_5<10$이고 $\displaystyle 12=a_6=2a_5$에서 $\displaystyle a_5=6$(ii) 조건 (나)에 의해 $\displaystyle a_5\ge10$이고 $\displaystyle a_5$가 짝수이며 $\displaystyle 12=a_6=\frac{a_5}2+5+1$에서 $\displaystyle a_5=12$(iii) 조건 (다)에 의해 $\displaystyle a_5\ge10$이고 $\displaystyle a_5$가 홀수이며 $\displaystyle 12=a_6=\frac{a_5+1}2$에서 $\displaystyle a_5=23$

(i) 만일 $\displaystyle a_4=3$이면, 이 수가 홀수이므로 조건 (가)에 의해 이 수가 만들어질 수는 없고, $\displaystyle a_3\ge10$이다. 만일 조건 (나)로부터 $\displaystyle a_4=3$이 만들어지려면 $\displaystyle \frac{a_3}2=-1$, 즉 $\displaystyle a_3=-2$여야 하는데, 이는 $\displaystyle a_n$의 각 항이 자연수라는 조건에 위배된다. ($\displaystyle a_3\ge10$인 조건에도 위배된다.) 또한 조건 (다)로부터 $\displaystyle a_4=3$이 만들어지려면 $\displaystyle a_3=5$여야 하는데 이는 $\displaystyle a_3\ge10$인 조건에 위배된다. 따라서 $\displaystyle a_4=3$일 수 없다.

(ii) 표에서 $\displaystyle a_4=6$인 경우 $\displaystyle a_3$, $\displaystyle a_2$, $\displaystyle a_1$로 가능한 여러 경우가 있지만, 예를 들어 조건 (다)에서$\displaystyle a_n=2a_{n+1}-1$임을 이용하여 순차적으로 $\displaystyle a_3$, $\displaystyle a_2$, $\displaystyle a_1$의 값을 점점 크게 택할 수 있다. (이 경우 표에 나타낸 것처럼, 계산되는 $\displaystyle a_3$, $\displaystyle a_2$, $\displaystyle a_1$의 값은 모두 10이상의 홀수이다.)

(iii) 표에서 $\displaystyle a_4=45$인 경우에도 조건 (다)에서$\displaystyle a_n=2a_{n+1}-1$임을 이용하여 순차적으로 $\displaystyle a_3$, $\displaystyle a_2$, $\displaystyle a_1$의 값을 점점 크게 택할 수 있다. (이 경우 표에 나타낸 것처럼, 계산되는 $\displaystyle a_3$, $\displaystyle a_2$, $\displaystyle a_1$의 값은 모두 10이상의 홀수이다.)

따라서 (i), (ii), (iii)의 결과를 종합하면 $\displaystyle a_4$의 최솟값은 $\displaystyle 6$이고 최댓값은 $\displaystyle 45$이다.