수리논술, 이게 다다.

자연계열 A 3번

오류 제보

전체 시험 시간 120분

세종대 2024학년도 수시 자연계열 A 3번 · mathesis.kr/archive/sejong/2024su/jayeona_3

이전 문제
배점240점
예상 소요 시간40분
다음 문제

문제

[문제 3] 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 f(x)=∫0xte−(t−x)2dt\displaystyle f(x)=\int_0^xte^{-(t-x)^2}dt에 대하여 ∫02e−x2dx=A\displaystyle \int_0^2e^{-x^2}dx=A라 할 때, 다음 물음에 각각 답하시오.

(3-1) f′(2)\displaystyle f\prime(2)를 A\displaystyle A의 식으로 나타내시오. (80점)

(3-2) 0<x≤2\displaystyle 0<x\le2에서 함수 f(x)x\displaystyle \frac{f(x)}x의 최댓값을 A\displaystyle A의 식으로 나타내시오. (80점)

(3-3) lim⁡x→0{f(x)}5f′(x)x11\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\{f(x)\}^5f\prime(x)}{x^{11}}의 값을 구하시오. (80점)

해설강의 준비중

세종대 2024학년도 수시 자연계열 A 3번 · mathesis.kr/archive/sejong/2024su/jayeona_3

+40점 · f(x)=x∫0xe−u2du−12(1−e−x2)\displaystyle f(x)=x\int_0^xe^{-u^2}du-\frac12(1-e^{-x^2}) 또는 f(x)=x∫−x0e−u2du+∫−x0ue−u2du\displaystyle f(x)=x\int_{-x}^0e^{-u^2}du+\int_{-x}^0ue^{-u^2}du 또는 f(x)=x∫−x0e−u2du−12(1−e−x2)\displaystyle f(x)=x\int_{-x}^0e^{-u^2}du-\frac12(1-e^{-x^2})를 구하면

(3-1) u=t−x\displaystyle u=t-x라 두면 t=x+u\displaystyle t=x+u이므로 치환적분법을 이용하면f(x)=∫0xte−(t−x)2dt=∫−x0(x+u)e−u2du=x∫−x0e−u2du−12∫−x0(−2u)e−u2du=x∫−x0e−u2du−12[e−u2]−x0=x∫0xe−u2du−12(1−e−x2)\displaystyle \begin{aligned}f(x)&=\int_0^xte^{-(t-x)^2}dt=\int_{-x}^0(x+u)e^{-u^2}du\\&=x\int_{-x}^0e^{-u^2}du-\frac12\int_{-x}^0(-2u)e^{-u^2}du\\&=x\int_{-x}^0e^{-u^2}du-\frac12\Biggl[e^{-u^2}\Biggr]_{-x}^0\\&=x\int_0^xe^{-u^2}du-\frac12(1-e^{-x^2})\end{aligned}이다.

+30점 · f′(x)=∫0xe−u2du  (=∫−x0e−u2du)\displaystyle f\prime(x)=\int_0^xe^{-u^2}du\;(=\int_{-x}^0e^{-u^2}du)를 구하면

그러므로f′(x)=∫0xe−u2du+xe−x2+12e−x2(−2x)=∫0xe−u2du\displaystyle f\prime(x)=\int_0^xe^{-u^2}du+xe^{-x^2}+\frac12e^{-x^2}(-2x)=\int_0^xe^{-u^2}du이다.

+10점 · 답 f′(2)=A\displaystyle f\prime(2)=A를 구하면

따라서 f′(2)=A\displaystyle f\prime(2)=A이다.

+40점 · ddx{f(x)x}=12x2(1−e−x2)\displaystyle \frac d{dx}\{\frac{f(x)}x\}=\frac1{2x^2}(1-e^{-x^2})을 구하면
+10점 · ddx{f(x)x}>0\displaystyle \frac d{dx}\{\frac{f(x)}x\}>0을 보이면

(3-2) 두 식f(x)=x∫0xe−u2du−12(1−e−x2)\displaystyle f(x)=x\int_0^xe^{-u^2}du-\frac12(1-e^{-x^2})f′(x)=∫0xe−u2du\displaystyle f\prime(x)=\int_0^xe^{-u^2}du로부터 f(x)=xf′(x)−12(1−e−x2)\displaystyle f(x)=xf\prime(x)-\frac12(1-e^{-x^2})을 얻는다. 따라서 0<x≤2\displaystyle 0<x\le2일 때ddx{f(x)x}=f′(x)x−f(x)x2=12x2(1−e−x2)>0\displaystyle \frac d{dx}\{\frac{f(x)}x\}=\frac{f\prime(x)x-f(x)}{x^2}=\frac1{2x^2}(1-e^{-x^2})>0이므로 f(x)x\displaystyle \frac{f(x)}x는 이 구간에서 증가한다.

+30점 · 답 A−14(1−e−4)\displaystyle A-\frac14(1-e^{-4})을 구하면

따라서 0<x≤2\displaystyle 0<x\le2일 때 f(x)x\displaystyle \frac{f(x)}x의 최댓값은 f(2)2\displaystyle \frac{f(2)}2이고, 식 f(x)=x∫0xe−u2du−12(1−e−x2)\displaystyle f(x)=x\int_0^xe^{-u^2}du-\frac12(1-e^{-x^2})으로부터 f(2)2=A−14(1−e−4)\displaystyle \frac{f(2)}2=A-\frac14(1-e^{-4})이다.

+30점 · lim⁡x→0f(x)x2=12\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=\frac12을 구하면
+10점 · lim⁡x→0f′(x)x=1\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f\prime(x)}x=1을 구하면
+20점 · lim⁡x→0{f(x)}5f′(x)x11=lim⁡x→0{f(x)x2}5×lim⁡x→0f′(x)x\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\{f(x)\}^5f\prime(x)}{x^{11}}=\lim_{x\to0}\{\frac{f(x)}{x^2}\}^5\times\lim_{x\to0}\frac{f\prime(x)}x

(3-3) f(x)=x∫0xe−u2du−12(1−e−x2)\displaystyle f(x)=x\int_0^xe^{-u^2}du-\frac12(1-e^{-x^2})이고, f′(x)=∫0xe−u2du\displaystyle f\prime(x)=\int_0^xe^{-u^2}du이므로lim⁡x→0f(x)x2=lim⁡x→0xf′(x)−12(1−e−x2)x2=lim⁡x→0{f′(x)x−12(1−e−x2)x2}\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{xf\prime(x)-\frac12(1-e^{-x^2})}{x^2}=\lim_{x\to0}\left\{\frac{f\prime(x)}x-\frac{\frac12(1-e^{-x^2})}{x^2}\right\}이다. f′(0)=0,  f′′(x)=e−x2\displaystyle f\prime(0)=0,\;f\prime\prime(x)=e^{-x^2}이므로lim⁡x→0f′(x)x=lim⁡x→0f′(x)−f′(0)x=f′′(0)=1\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f\prime(x)}x=\lim_{x\to0}\frac{f\prime(x)-f\prime(0)}x=f\prime\prime(0)=1이고lim⁡x→012(1−e−x2)x2=lim⁡t→0−12(et−1)t=12  (⇐t=−x2)\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\frac12(1-e^{-x^2})}{x^2}=\lim_{t\to0-}\frac{\frac12(e^t-1)}t=\frac12\;(\Leftarrow t=-x^2)이다.

+20점 · lim⁡x→0{f(x)}5f′(x)x11=132\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\{f(x)\}^5f\prime(x)}{x^{11}}=\frac1{32}을 구하면

따라서 lim⁡x→0{f(x)}5f′(x)x11=lim⁡x→0{f(x)x2}5×lim⁡x→0f′(x)x=132\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\{f(x)\}^5f\prime(x)}{x^{11}}=\lim_{x\to0}\{\frac{f(x)}{x^2}\}^5\times\lim_{x\to0}\frac{f\prime(x)}x=\frac1{32}이다.

첨삭 사례

아직 등록된 첨삭 사례가 없습니다.

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.