자연계열 A 3번

(3-1) $\displaystyle u=t-x$라 두면 $\displaystyle t=x+u$이므로 치환적분법을 이용하면$\displaystyle \begin{aligned}f(x)&=\int_0^xte^{-(t-x)^2}dt=\int_{-x}^0(x+u)e^{-u^2}du\\&=x\int_{-x}^0e^{-u^2}du-\frac12\int_{-x}^0(-2u)e^{-u^2}du\\&=x\int_{-x}^0e^{-u^2}du-\frac12\Biggl[e^{-u^2}\Biggr]_{-x}^0\\&=x\int_0^xe^{-u^2}du-\frac12(1-e^{-x^2})\end{aligned}$이다. 그러므로$\displaystyle f\prime(x)=\int_0^xe^{-u^2}du+xe^{-x^2}+\frac12e^{-x^2}(-2x)=\int_0^xe^{-u^2}du$이다. 따라서 $\displaystyle f\prime(2)=A$이다.

(3-2) 두 식$\displaystyle f(x)=x\int_0^xe^{-u^2}du-\frac12(1-e^{-x^2})$$\displaystyle f\prime(x)=\int_0^xe^{-u^2}du$로부터 $\displaystyle f(x)=xf\prime(x)-\frac12(1-e^{-x^2})$을 얻는다. 따라서 $\displaystyle 0<x\le2$일 때$\displaystyle \frac d{dx}\{\frac{f(x)}x\}=\frac{f\prime(x)x-f(x)}{x^2}=\frac1{2x^2}(1-e^{-x^2})>0$이므로 $\displaystyle \frac{f(x)}x$는 이 구간에서 증가한다. 따라서 $\displaystyle 0<x\le2$일 때 $\displaystyle \frac{f(x)}x$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{f(2)}2$이고, 식 $\displaystyle f(x)=x\int_0^xe^{-u^2}du-\frac12(1-e^{-x^2})$으로부터 $\displaystyle \frac{f(2)}2=A-\frac14(1-e^{-4})$이다.

(3-3) $\displaystyle f(x)=x\int_0^xe^{-u^2}du-\frac12(1-e^{-x^2})$이고, $\displaystyle f\prime(x)=\int_0^xe^{-u^2}du$이므로$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{xf\prime(x)-\frac12(1-e^{-x^2})}{x^2}=\lim_{x\to0}\left\{\frac{f\prime(x)}x-\frac{\frac12(1-e^{-x^2})}{x^2}\right\}$이다. $\displaystyle f\prime(0)=0,\;f\prime\prime(x)=e^{-x^2}$이므로$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f\prime(x)}x=\lim_{x\to0}\frac{f\prime(x)-f\prime(0)}x=f\prime\prime(0)=1$이고$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\frac12(1-e^{-x^2})}{x^2}=\lim_{t\to0-}\frac{\frac12(e^t-1)}t=\frac12\;(\Leftarrow t=-x^2)$이다. 따라서 $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\{f(x)\}^5f\prime(x)}{x^{11}}=\lim_{x\to0}\{\frac{f(x)}{x^2}\}^5\times\lim_{x\to0}\frac{f\prime(x)}x=\frac1{32}$이다.